反平行四边形二十四面体

在几何学中，反平行四边形二十四面体是一种星形二十四面体，由24个的反平行四边形组成，其索引编号为DU₂₁^[2]。反平行四边形二十四面体的对偶多面体为大斜方立方体^[3]。反平行四边形二十四面体为数学家温尼尔的著作《多面体模型》中之形状W₁₀₃^[4]的对偶多面体^[5]。

反平行四边形二十四面体

类别	均匀多面体对偶 星形多面体
对偶多面体	大斜方立方体
识别
名称	反平行四边形二十四面体
参考索引	DU21
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	4/3 3/2 2 |[1]
性质
面	24
边	48
顶点	18
欧拉特征数	F=24, E=48, V=18 （χ=-6）
组成与布局
面的种类	24个反平行四边形
顶点布局 （英语：Vertex_configuration）	两种顶点 4个反平行四边形的公共顶点 8个反平行四边形的公共顶点 (星形排布)
对称性
对称群	Oh, [4,3], *432
特性
等面、非凸
图像
大斜方立方体 （对偶多面体）
查 论 编

提示：此条目页的主题不是小反平行四边形二十四面体。

性质

反平行四边形二十四面体，由24个全等的反平行四边形组成，其具有48条棱和18个顶点。在其18个顶点中，有12个是4个反平行四边形的公共顶点、另外6个是8个反平行四边形的公共顶点^[6]，然而这6个顶角并非一般的八面角，其对应的顶点图为八角星，表示其排列方式同于八角星的棱之排布。

面的组成

反平行四边形二十四面体由24个全等的反平行四边形（亦称为领结形）所组成^[7]：

反平行四边形在立体中的位置

反平行四边形具有两对边等长的特性^[8]，因此组成反平行四边形二十四面体的反平行四边形有两种长度的边。若反平行四边形二十四面体对应的对偶多面体大斜方立方体其边长为单位长，则对应的反平行四边形二十四面体中反平行四边形面上较短的边长为^[7]：

${\displaystyle {\sqrt {2\left(2-{\sqrt {2}}\right)}}}$单位长

此时，较长的边长为^[7]：

${\displaystyle 2{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$单位长

而其边长比为${\displaystyle \left(1:{\sqrt {2}}\right)}$。

相关多面体与镶嵌

反平行四边形二十四面体和星形四角化菱形十二面体皆可以视为将菱形十二面体每个面替换成一个顶点和四个三角形的结果^[9]，换句话说即将菱形十二面体每个面替换成一个菱形锥，根据替换的角锥锥高的不同，可以产生不同的立体：

菱形十二面体	四角化菱形十二面体	星形四角化菱形十二面体	反平行四边形二十四面体

大六角二十四面体与反平行四边形二十四面体几何中心重合可以组成一个大筝形二十四面体^[10]。

大六角二十四面体

反平行四边形二十四面体

大筝形二十四面体

反平行四边形二十四面体由反平行四边形（亦称为领结形）所组成^[7]，其他同样由四边形组成，且具有八面体群对称性的二十四面体有：

图像	筝形二十四面体	反平行四边形二十四面体	大筝形二十四面体	小六角二十四面体（英语：Small hexacronic icositetrahedron）	大六角二十四面体	小反平行四边形二十四面体
面	筝形	反平行四边形	凹筝形	凹筝形 露出的部分为 反平行四边形	筝形	反平行四边形

参见

• 筝形二十四面体
• 星形四角化菱形十二面体
• 小反平行四边形二十四面体

参考文献

1. Dual 21: great rhombihexacron. gratrix.net. [2019-09-07]. （原始内容存档于2008-12-04）.
2. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208
3. Eric W. Weisstein. Great Rhombihexacron. 密歇根州立大学图书馆. [2019-09-07]. （原始内容存档于2014-07-11）.
4. Wenninger, Magnus（英语：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
5. Weisstein, Eric W. (编). Great Rhombihexacron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
6. Great Rhombihexacron. kitwallace.co.uk. [2019-09-07]. （原始内容存档于2021-09-03）.
7. David I. McCooey. Versi-Quasi-Regular Duals: Great Rhombihexacron. dmccooey.com. [2019-09-07]. （原始内容存档于2018-03-10）.
8. Bryant, John; Sangwin, Christopher J., 3.3 The Crossed Parallelogram, How round is your circle? Where Engineering and Mathematics Meet, Princeton University Press: 54–56, 2008, ISBN 978-0-691-13118-4.
9. Hexakis Octahedron. Florida Center for Instructional Technology, College of Education, University of South Florida. [2019-09-03]. （原始内容存档于2015-01-21）.
10. Great Hexacronic Icositetrahedron. software3d.com. [2019-09-07]. （原始内容存档于2015-11-21）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 反平行四邊形二十四面體. MathWorld.