十二边形

在几何学中，十二边形是指有十二条边和十二个顶点的多边形^[1]，其内角和为1800度^[2]。十二边形有很多种，其中对称性最高的是正十二边形。其他的十二边形依照其类角的性质可以分成凸十二边形和非凸十二边形，其中凸十二边形代表所有内角角度皆小于180度。非凸十二边形可以在近一步分成凹十二边形和星形十二边形，其中星形十二边形表示边自我相交的十二边形。而一般的十字形为凹十二边形常见的一个例子。

正十二边形
一个正十二边形
类型	正多边形
对偶	正十二边形（本身）
边	12
顶点	12
对角线	54
施莱夫利符号	{12} t{6}
考克斯特符号（英语：Coxeter–Dynkin diagram）
对称群	二面体群 (D12), order 2×12
面积	${\displaystyle {\frac {12}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{12}}}$ ${\displaystyle \approx 11.196152422707a^{2}}$
内角（度）	150°
内角和	1800°
特性	凸、圆内接多边形、等边多边形、等角多边形、等边图形
查 论 编

正十二边形

正十二边形是指所有边等长、所有角等角的十二边形，由十二条相同长度的边和十二个相同大小的角构成，是一种正多边形。正十二边形的内角是${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}$弧度，换算成角度是150度。在施莱夫利符号中用 ${\displaystyle \left\{12\right\}}$ 来表示。由于正十二边形可看作是截去所有顶点的正六边形，即截角的正六边形，因此施莱夫利符号中也可以计为 ${\displaystyle t\left\{6\right\}}$ 。而因为正六边形亦可以将正三角形透过截角变换来构造，即切去正三角形的三个顶点，因此正十二边形可以视为正三角形经过2次的截角变换的结果，在施莱夫利符号中亦可以写为 ${\displaystyle tt\left\{3\right\}}$。

面积

若已知正十二边形的边长a，则正十二边形的面积为：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}\end{aligned}}}$

若已知内切圆半径或边心距为r，则其面积为：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\\&\simeq 3.2153903\,r^{2}\end{aligned}}}$

若已知外接圆半径为R，其面积为：^[3]

${\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}}$

三国时代数学家刘徽计算出半径为${\displaystyle r}$的圆形，其内接正12边形的面积为${\displaystyle 3r^{2}}$^[4][5]。正十二边形面积等于最长对角线平方的四分之三。

十二边形的宽度是两个平行边之间的距离，正好会等于两倍的边心距。因此已知正十二边形的宽度和边长也可以求出面积：

${\displaystyle A=3aS}$

也可以利用三角关系进行验证：

${\displaystyle S=a(1+2\cos {30^{\circ }}+2\cos {60^{\circ }})}$

周长

若已知外接圆半径R，正十二边形的周长为^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24R\sin \left({\frac {\pi }{12}}\right)=12R{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\\&\simeq 6.21165708246R\end{aligned}}}$

若已知边心距r，正十二边形的周长为：

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=24r\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)=24r(2-{\sqrt {3}})\\&\simeq 6.43078061835r\end{aligned}}}$

该系数是已知边心距求面积公式中系数的两倍^[7]。

尺规作图

尺规作图可先在圆形内制作正六边形，再将各边二等分线延伸至圆周以完成正十二边形的顶点。

以尺规作图作出正12边形。

分割

正十二边形的分割^[8]

正六边形、正方形和正三角形

图型块（英语：pattern blocks）

六维超立方体（英语：6-cube）投影图中的15个菱形

15个菱形

密铺平面

有一些正多边形镶嵌图含有正十二边形：

截角六边形镶嵌3.12.12[9][10]

大斜方截半六边形镶嵌: 4.6.12

六角化大斜方截半六边形镶嵌: 3.3.4.12 & 3.3.3.3.3.3

对称性

一般的十二边形对称性以对边和顶点的颜色显示。约翰·何顿·康威以字母来标记这些形状的对称性。^[11]

正十二边形具有Dih₁₂对称性，阶数为24.

有15个不同的子群二面体群和环状对称。每个子组对称性允许一个或多个自由不规则形式。只有G12子群没有自由度，但可以看作是有向边。

不同对称性的十二边形
r24
d12	g12	p12		i8
d6	g6	p6		d4	g4	p4
g3				d2	g2	p2
a1

扭歪十二边形

一个正扭歪十二边形，位于六角反柱上

扭歪十二边形，又称不共面十二边形，是指顶点并非完全共面的十二边形。

皮特里多边形

扭歪十二边形经常出现在高维多胞体正交投影的皮特里多边形。例如十一维正十二胞体的皮特里多边形就是一个扭歪十二边形，其具有A₁₁ [3¹⁰] 的考克斯特群的对称性^[12]。

高维度的扭歪十二边形
E6（英语：E6 (mathematics)）		F4（英语：F4 (mathematics)）		2G2 (4D)
221（英语：2 21 polytope）	122（英语：1 22 polytope）	正二十四胞体	扭棱二十四胞体（英语：Snub 24-cell）	六角六角锥体锥（英语：6-6 duopyramid）	六角六角柱体柱（英语：6-6 duoprism）
A11	D7		B6
十一维正十二胞体	(411)（英语：7-orthoplex）	141（英语：7-demicube）	六维正轴体（英语：6-orthoplex）	六维超立方体（英语：6-cube）

使用

• 英镑的新版1镑硬币形状为正十二边形。
• 澳大利亚元的50分硬币形状为正十二边形。
• 澳门币五圆和二毫的形状为正十二边形
• 二毫和二元港币的形状为正十二边形（严格地说，是每边向内凹陷的正十二边形）
• 嵩岳寺塔的底为正十二边形。

参见

• 十二边形数
• 十二面体：面数和此多边形的边数一样都是12。
• 十二胞体：胞数和此多边形的边数一样都是12。
• 十二：此多边形的边数是12。
• 正图形列表

参考文献

1. Weisstein, Eric W. (编). Dodecagon. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
2. Polygons – Dodecagon. coolmath.com. [2016-08-28]. （原始内容存档于2016-08-28）.
3. 柯谢克（英语：József Kürschák）的几何证明 Kürschák's Dodecagon. the Wolfram Demonstration Project. [2016-08-25]. （原始内容存档于2018-07-31）.
4. 《九章算术》卷第一 - 大哉言数
5. Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 56-57 and 137, 1991. ISBN 978-0140118131
6. Plane Geometry: Experiment, Classification, Discovery, Application by Clarence Addison Willis B., (1922) Blakiston's Son & Company, p. 249 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
7. Elements of geometry by John Playfair, William Wallace, John Davidsons, (1814) Bell & Bradfute, p. 243 [2] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
8. "Doin' Da' Dodeca'". mathforum.org. [2017-06-08]. （原始内容存档于2016-09-17）.
9. Chavey, D. Tilings by Regular Polygons—II: A Catalog of Tilings. Computers & Mathematics with Applications. 1989, 17: 147–165 [2016-08-28]. doi:10.1016/0898-1221(89)90156-9. （原始内容存档于2016-06-16）.
10. Uniform Tilings. [2016-08-28]. （原始内容存档于2006-09-09）.
11. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)
12. Davis, Michael W., The Geometry and Topology of Coxeter Groups (PDF), 2007 [2016-08-27], ISBN 978-0-691-13138-2, Zbl 1142.20020, （原始内容 (PDF)存档于2011-10-09）

外部链接

• 正12边形分割再组合为正6边形(Java)
• 正12边形组合为正方形
• Dodecagon Matches Area Puzzle（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Dodecagon. MathWorld.
• Kürschak's Tile and Theorem（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Definition and properties of a dodecagon（页面存档备份，存于互联网档案馆） With interactive animation