累积分布函数

累积分布函数（英语：cumulative distribution function，CDF）或概率分布函数，简称分布函数，是概率密度函数的积分，能完整描述一个实随机变量${\displaystyle X}$的概率分布。

指数分布的累积分布函数

正态分布的累积分布函数

在标量连续分布的情况下，它给出了从负无穷到${\displaystyle x}$的概率密度函数下的面积。 累积分布函数也用于指定多元随机变量（英语：Multivariate random variable）的分布。

定义

对于所有实数值的随机变量${\displaystyle X}$ ，累积分布函数定义如下^{[1]:p. 77}：

$${\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}$$

Eq.1

其中右侧表示随机变量${\displaystyle X}$取值小于或等于${\displaystyle x}$的概率。

对于${\displaystyle X}$位于半闭区间${\displaystyle (a,b]}$ 的概率，其中${\displaystyle a<b}$，因此定义是^{[1]:p. 84}:

$${\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}$$

Eq.2

在上面的定义中，“小于或等于”符号“≤”是一种约定，不是普遍使用的（例如匈牙利文献使用“<”），但这种区别对于离散分布很重要。二项式分布和泊松分布的表格的正确使用取决于此约定。此外，像数学家保罗·皮埃尔·莱维(Paul Lévy)的特征函数反演公式等重要公式也依赖于“小于或等于”公式。

性质

• 有界性^[2]
  • ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0}$
  • ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1}$
• 单调性：
  • ${\displaystyle F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2}),\ {\mbox{if}}\,x_{1}<x_{2}}$
• 右连续性：
  • ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}F_{X}(x)=F_{X}(x_{0})}$

${\displaystyle X}$之值落在一区间${\displaystyle (a,b]}$之内的概率为

${\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}$

一随机变量${\displaystyle X}$的CDF与其PDF的关系为

${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt}$

反函数

若累积分布函数 ${\displaystyle F}$ 是连续的严格增函数，则存在其反函数${\displaystyle F^{-1}(y),y\in [0,1]}$。累积分布函数的反函数可以用来生成服从该随机分布的随机变量。设若${\displaystyle F_{X}(x)}$是概率分布${\displaystyle X}$的累积分布函数，并存在反函数${\displaystyle F_{X}^{-1}}$。若${\displaystyle a}$是${\displaystyle [0,1)}$区间上均匀分布的随机变量，则${\displaystyle F_{X}^{-1}(a)}$服从${\displaystyle X}$分布。

互补累积分布函数

互补累积分布函数（complementary cumulative distribution function、CCDF），是对连续函数，所有大于${\displaystyle a}$的值，其出现概率的和。

${\displaystyle F(a)=P(x>a)}$

参见

• 概率密度函数
• 概率质量函数

参考

1. Park, Kun Il. Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. 2018. ISBN 978-3-319-68074-3.
2. 《概率论与数理统计教程》茆诗松 程依明 濮晓龙