右连左极函数

在数学中，右连左极函数（càdlàg，RCLL）是指定义在实数集或其子集上的处处右连续且有左极限的函数。这类函数在研究有跳跃甚至是需要跳跃的随机过程时很重要，这类随机过程不像布朗运动具有连续的样本轨道。给定定义域上的右连左极函数的集合称为斯科罗霍德空间（Skorokhod space）。

定义

累积分布函数是右连左极函数的一个例子。

令${\displaystyle (M,d)}$为度量空间，并令${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$。函数${\displaystyle f:E\to M}$称为右连左极函数。若对于每一${\displaystyle t\in E}$，都有

• 左极限${\displaystyle f(t-):=\lim _{s\uparrow t}f(s)}$存在；且
• 右极限${\displaystyle f(t+):=\lim _{s\downarrow t}f(s)}$存在并等于${\displaystyle f(t)}$，

即${\displaystyle f}$ 是右连续的且有左极限。

例子

• 全部连续函数都是右连左极函数。
• 由累积分布函数的定义知所有的累积分布函数都是右连左极函数。

斯科罗霍德空间

从${\displaystyle E}$到${\displaystyle M}$的所有右连左极函数的集合常记为${\displaystyle D(E;M)}$或简记为${\displaystyle D}$，称为斯科罗霍德空间，是以乌克兰数学家阿纳托利·斯科罗霍德（Anatoliy Skorokhod）的名字命名。斯科罗霍德空间可以被指派一个拓扑结构，这一拓扑直觉上能使我们“稍微蠕动空间和时间”（而传统的一致收敛拓扑仅允许我们“稍微蠕动空间”）。为了简化说明，取${\displaystyle E=[0,T]}$，${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}$（Billingsley的书中描述了更一般的拓扑）

首先我们必须定义连续性模的一个模拟${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta )}$。对于任意${\displaystyle F\subseteq E}$，使

${\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}$

且对于${\displaystyle \delta >0}$，将右连左极函数模（càdlàg modulus）定义为

${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}$

其中最大下界对所有划分${\displaystyle \Pi =\{0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T\}}$，${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$都存在，且${\displaystyle \max _{i}(t_{i}-t_{i-1})<\delta }$。这一定义对于非右连左极函数${\displaystyle f}$是有意义的（就如通常的连续性模对于不连续函数是有意义的）且可以说明${\displaystyle f}$是右连左极函数当且仅当${\displaystyle \delta \to 0}$时${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta )\to 0}$。

这是令${\displaystyle \Lambda }$表示从${\displaystyle E}$到自身的所有严格递减的连续双射函数的集合（这些函数是“对时间的蠕动”）。令

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}$

表示${\displaystyle E}$上的函数的一致范数。将${\displaystyle D}$ 上的斯科罗霍德度量（Skorokhod metric）${\displaystyle \sigma }$定义为

${\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},}$

其中${\displaystyle I:E\to E}$是恒等函数。以“蠕动”这种直观感觉来看，${\displaystyle \|\lambda -I\|}$度量了“时间的蠕动”，而${\displaystyle \|f-g\circ \lambda \|}$度量了“空间的蠕动”。

我们可以证明斯科罗霍德度量度量的确是度量。由${\displaystyle \sigma }$生成的拓扑${\displaystyle \Sigma }$称为${\displaystyle D}$上的斯科罗霍德拓扑（Skorokhod topology）。

斯科罗霍德空间的性质

一致拓扑的一般化

E 上的连续函数空间C 是D 的一个子空间。相对应于C 斯科罗霍德拓扑与这里所述的一致拓扑相一致。

完备性

虽然D 不是关于斯科罗霍德度量σ 的一个完备空间，但是可以证明存在具完备性的关于D 的拓扑等价度量 σ₀ 。

分离性

关于σ 或σ₀ 的D 是可分空间，因此斯科罗霍德空间是波兰空间。

斯科罗霍德空间中的胎紧性

通过应用阿尔泽拉－阿斯科利定理，我们可以证明斯科罗霍德空间D 上概率测度的一个序列${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$是胎紧的当且仅当同时满足下列两个条件：

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\|f\|\geq a\}=0,}$

和

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in D|\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0.}$

代数结构与拓扑结构

在斯科罗霍德拓扑和函数的逐点加法下，D 不是一个拓扑群。

参考文献

• Billingsley, Patrick. Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1995. ISBN 0-471-00710-2.
• Billingsley, Patrick. Convergence of Probability Measures. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. 1999. ISBN 0-471-19745-9.