等M圆及等N圆

等M圆及等N圆（M-circles and N-circles）英文也称为是Hall circles，是控制理论中利用开回路传递函数的奈奎斯特图（或尼柯尔斯图）来求得其闭回路传递函数数值的绘图工具。此作法最早是由Albert C. Hall在其控制理论的论文中提出^[1]。

蓝色的是开回路传递函数${\displaystyle G(s)=1/(s+0.5)}$的奈奎斯特图，上面也放了等M圆及等N圆。M = 0.45的等M圆以红色表示，和奈奎斯特图相交于${\displaystyle \omega \approx \pm 1.64}$的频率

建构方式

考虑闭回路线性控制系统，其开回路传递函数为${\displaystyle G(s)}$，反馈路径的增益为1。其闭回路传递函数为${\textstyle T(s)={\frac {G(s)}{1+G(s)}}}$。

若要确认T(s)的稳定性，可以用开回路传递函数G(s)的奈奎斯特图配合奈奎斯特稳定判据来确认。不过若只靠奈奎斯特图，无法知道T(s)的数值。为了要在G(s)平面上得到这些资讯，Hall在G(s)平面加上了使T(s)有固定大小以及有固定相位的二组曲线。

假设一正值M表示固定的大小，令G(s)为z，满足$${\displaystyle M=|T(s)|={\frac {|G(s)|}{|1+G(s)|}}={\frac {|z|}{|1+z|}}}$$的点是那些在G(s)平面上和0的距离以及和-1的距离比例为M倍的点。这些符合条件的点z的轨迹为阿波罗尼斯圆（英语：circles of Apollonius），在控制系统中称为等M图。

若假设一正值N表示相位角，满足$${\displaystyle N=\arg \left[{\frac {G(s)}{1+G(s)}}\right]=\arg[G(s)]-\arg[1+G(s)]=\arg[z]-\arg[1+z]}$$的点。满足此条件的点z的轨迹为圆弧^[2]，在控制系统中称为等N图。

用法

传递函数1/s(1+s)(1+2s)的尼柯尔斯图，以及调整后的等M圆及等N圆

若要使用此方法，会在开回路传递函数的奈奎斯特图上重叠不同数值的等M圆及等N圆，根据传递函数和等M圆及等N圆的交点即知道闭回路传递函数的大小及相位。

等M圆及等N圆也可以和尼柯尔斯图一起使用，不过等M圆及等N圆会进行坐标转换，其纵轴会是${\displaystyle 20\log _{10}(|G(s)|)}$，横轴是${\displaystyle \arg(G(s))}$。尼柯尔斯图的好处是调整开回路传递函数时，只要将曲线往上移即可。

相关条目

• 奈奎斯特图
• 尼柯尔斯图

参考资料

1. C., Hall, Albert. The analysis and synthesis of linear servomechanisms. Cambridge: Technology Press, Massachusetts Institute of Technology. 1943. ISBN 9780262080736. OCLC 857968901.
2. Munching on Inscribed Angles. cut-the-knot. [2018-05-25]. （原始内容存档于2021-04-25）.

• Katsuhiko, Ogata. Modern control engineering 4th. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. 2002. ISBN 0130609072. OCLC 46619221.
• S., Nise, Norman. Control systems engineering 5th. Hoboken, NJ: Wiley. 2008 [2018-12-28]. ISBN 9780471794752. OCLC 154798791. （原始内容存档于2009-02-07）.