爱因斯坦求和约定

在数学里，特别是将线性代数套用到物理时，爱因斯坦求和约定（Einstein summation convention）是一种标记的约定，又称为爱因斯坦标记法（Einstein notation），在处理关于坐标的方程式时非常有用。这约定是由阿尔伯特·爱因斯坦于1916年提出的^[1]。后来，爱因斯坦与友人半开玩笑地说^[2]：“这是数学史上的一大发现，若不信的话，可以试着返回那不使用这方法的古板日子。”

按照爱因斯坦求和约定，当一个单独项目内有标号变量出现两次，一次是上标，一次是下标时，则必须总和所有这单独项目的可能值。通常而言，标号的标值为1、2、3（代表维度为三的欧几里得空间），或0、1、2、3（代表维度为四的时空或闵可夫斯基时空）。但是，标值可以有任意值域，甚至（在某些应用案例里）无限集合。这样，在三维空间里，

${\displaystyle y=c_{i}x^{i}\,\!}$

的意思是

${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}\,\!}$。

请特别注意，上标并不是指数，而是标记不同坐标。例如，在直角坐标系里，${\displaystyle x^{1}\,\!}$、${\displaystyle x^{2}\,\!}$、${\displaystyle x^{3}\,\!}$分别表示${\displaystyle x\,\!}$坐标、${\displaystyle y\,\!}$坐标、${\displaystyle z\,\!}$坐标，而不是${\displaystyle x\,\!}$、${\displaystyle x\,\!}$的平方、${\displaystyle x\,\!}$的立方。

简介

爱因斯坦标记法的基本点子是余向量与向量可以形成标量：

${\displaystyle y=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots +c_{n}x^{n}\,\!}$。

通常会将这写为求和公式形式：

${\displaystyle y=\sum _{i=1}^{n}c_{i}x^{i}\,\!}$。

在基底变换之下，标量保持不变。当基底改变时，一个向量的线性变换可以用矩阵来描述，而余向量的线性变换则需用其逆矩阵来描述。这样的设计为的是要保证，不论基底为何，伴随余向量的线性函数（即上述总和）保持不变。由于只有总和不变，而总和所涉及的每一个项目都有可能会改变，所以，爱因斯坦提出了这标记法，重复标号表示总和，不需要用到求和符号：

${\displaystyle y=c_{i}x^{i}\,\,\!}$

采用爱因斯坦标记法，余向量都是以下标来标记，而向量都是以上标来标记。标号的位置具有特别意义。请不要将上标与指数混淆在一起，大多数涉及的方程式都是线性，不超过变量的一次方。在方程式里，单独项目内的标号变量最多只会出现两次，假若多于两次，或出现任何其它例外，则都必须特别加以说明，才不会造成含意混淆不清。

向量的表示

在线性代数里，采用爱因斯坦标记法，可以很容易的分辨向量和余向量（又称为1-形式）。向量的分量是用上标来标明，例如，${\displaystyle a^{i}\,\!}$。给予一个${\displaystyle n\,\!}$维向量空间${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$和其任意基底${\displaystyle \mathbf {e} =(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n})\,\!}$（可能不是标准正交基），那么，向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$表示为

${\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}={\begin{bmatrix}a^{1}\\a^{2}\\\vdots \\a^{n}\end{bmatrix}}\,\!}$。

余向量的分量是用下标来标明，例如，${\displaystyle \alpha _{i}\,\!}$。给予${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$的对偶空间${\displaystyle \mathbb {V} ^{*}\,\!}$和其任意基底${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}^{1},{\boldsymbol {\omega }}^{2},\dots ,{\boldsymbol {\omega }}^{n})\,\!}$（可能不是标准正交基），那么，余向量${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$表示为

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=\alpha _{i}{\boldsymbol {\omega }}^{i}={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{n}\end{bmatrix}}\,\!}$。

采用向量的共变和反变术语，上标表示反变向量（向量）。对于基底的改变，从${\displaystyle \mathbf {e} \,\!}$改变为${\displaystyle {\overline {\mathbf {e} }}\,\!}$，反变向量会变换为

${\displaystyle {\overline {a}}^{i}={\frac {\partial {\overline {x}}^{i}}{\partial x^{j}}}a^{j}\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\overline {a}}^{i}\,\!}$是改变基底后的向量的分量，${\displaystyle {\overline {x}}^{i}\,\!}$是改变基底后的坐标，${\displaystyle x^{j}\,\!}$是原先的坐标，

下标表示共变向量（余向量）。对于基底的改变，从${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$改变为${\displaystyle {\overline {\boldsymbol {\omega }}}\,\!}$，共变向量会会变换为

${\displaystyle {\overline {\alpha }}_{i}={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\overline {x}}^{j}}}\alpha _{j}\,\!}$。

一般运算

矩阵${\displaystyle A\,\!}$的第${\displaystyle m\,\!}$横排，第 ${\displaystyle n\,\!}$竖排的元素，以前标记为${\displaystyle A_{mn}\,\!}$；现在改标记为${\displaystyle A_{n}^{m}\,\!}$。各种一般运算都可以用爱因斯坦标记法来表示如下：

内积

给予向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$和余向量${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$，其向量和余向量的内积为标量：

${\displaystyle \mathbf {a} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}=a_{i}\alpha ^{i}\,\!}$。

向量乘以矩阵

给予矩阵${\displaystyle A\,\!}$和向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$，它们的乘积是向量${\displaystyle \mathbf {b} \,\!}$：

${\displaystyle b^{i}=A_{j}^{i}a^{j}\,\!}$。

类似地，矩阵${\displaystyle A\,\!}$的转置矩阵${\displaystyle B=A^{\mathrm {T} }\,\!}$，其与余向量${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$的乘积是余向量${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}\,\!}$：

${\displaystyle \beta _{j}=B_{j}^{i}\alpha _{i}=\alpha _{i}B_{j}^{i}\,\!}$。

矩阵乘法

矩阵乘法表示为

${\displaystyle C_{k}^{i}=A_{j}^{i}\,B_{k}^{j}\,\!}$。

这公式等价于较冗长的普通标记法：

${\displaystyle C_{ik}=(A\,B)_{ik}=\sum _{j=1}^{N}A_{ij}B_{jk}\,\!}$。

迹

给予一个方块矩阵${\displaystyle A_{j}^{i}\,\!}$，总和所有上标与下标相同的元素${\displaystyle A_{i}^{i}\,\!}$，可以得到这矩阵的迹${\displaystyle t\,\!}$：

${\displaystyle t=A_{i}^{i}\,\!}$。

外积

M维向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$和N维余向量${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$的外积是一个M×N矩阵${\displaystyle A\,\!}$：

${\displaystyle A=\mathbf {a} \,{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$。

采用爱因斯坦标记式，上述方程式可以表示为

${\displaystyle A_{j}^{i}=a^{i}\,\alpha _{j}\,\!}$

由于${\displaystyle i\,\!}$和${\displaystyle j\,\!}$代表两个不同的标号，在这案例，值域分别为M和N，外积不会除去这两个标号，而使这两个标号变成了新矩阵${\displaystyle A\,\!}$的标号。

向量的内积

一般力学及工程学会用互相标准正交基的基底向量${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\,\!}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}\,\!}$及${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}$来描述三维空间的向量。

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+u_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+u_{z}{\hat {\mathbf {k} }}\,\!}$。

把直角坐标系的基底向量${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }}\,\!}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {j} }}\,\!}$及${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}$写成${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\,\!}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\,\!}$及${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!}$，所以一个向量可以写成：

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+u_{2}{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+u_{3}{\hat {\mathbf {e} }}_{3}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}$。

根据爱因斯坦求和约定，若单项中有标号出现两次且分别位于上标及下标，则此项代表着所有可能值之总和：

${\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=\sum _{i=1}^{3}u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}$。

由于基底是标准正交基，${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$的每一个分量${\displaystyle u^{i}=u_{i}\,\!}$，所以，

${\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}$。

两个向量${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$与${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$的内积是

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =(u^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i})\cdot (v^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=\left(\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{3}v_{j}\mathbf {e} _{j}\right)=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}({\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j})\,\!}$。

由于基底是标准正交基，基底向量相互正交归一：

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\delta _{ij}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \ \delta _{ij}\,\!}$就是克罗内克函数。当${\displaystyle i=j\,\!}$时，则${\displaystyle \delta _{ij}=1\,\!}$，否则${\displaystyle \delta _{ij}=0\,\!}$。

逻辑上，在方程式内的任意项目，若遇到了克罗内克函数${\displaystyle \ \delta _{ij}\,\!}$，就可以把方程式中的标号${\displaystyle i\,\!}$转为${\displaystyle j\,\!}$或者把标号${\displaystyle j\,\!}$转为${\displaystyle i\,\!}$。所以，

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}u_{i}v_{j}\delta _{ij}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}v_{i}\,\!}$。

向量的叉积

采用同样的标准正交基${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1}\,\!}$、${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{2}\,\!}$及${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!}$，两个向量${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$与${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$的叉积，以方程式表示为

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u^{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j})\times (v^{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k})=\left(\sum _{j=1}^{3}u_{j}{\hat {\mathbf {e} }}_{j}\right)\times \left(\sum _{k=1}^{3}v_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}\right)\,\!}$

${\displaystyle =\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}u_{j}v_{k}(\mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k})=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}u_{j}v_{k}\epsilon _{ijk}\mathbf {e} _{i}\,\!}$。

注意到

${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\times {\hat {\mathbf {e} }}_{k}=\epsilon _{ijk}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}$；

其中，张量${\displaystyle \ \epsilon _{ijk}\,\!}$是列维-奇维塔符号，定义为

${\displaystyle \epsilon _{ijk}=\epsilon ^{ijk}\ {\stackrel {def}{=}}{\begin{cases}+1\\-1\\0\end{cases}}\,\!}$	，若${\displaystyle (i,j,k)=\,\!}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}\,\!}$、${\displaystyle \{2,3,1\}\,\!}$或${\displaystyle \{3,1,2\}\,\!}$ （偶置换）
	，若${\displaystyle (i,j,k)=\,\!}$ ${\displaystyle \{3,2,1\}\,\!}$、${\displaystyle \{2,1,3\}\,\!}$或${\displaystyle \{1,3,2\}\,\!}$（奇置换）
	，若 ${\displaystyle i=j\,\!}$、${\displaystyle j=k\,\!}$或${\displaystyle i=k\,\!}$

所以，

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =(u^{2}v^{3}-u^{3}v^{2}){\hat {\mathbf {e} }}_{1}+(u^{3}v^{1}-u^{1}v^{3}){\hat {\mathbf {e} }}_{2}+(u^{1}v^{2}-u^{2}v^{1}){\hat {\mathbf {e} }}_{3}\,\!}$。

设定${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} \times \mathbf {v} \,\!}$，那么，

${\displaystyle w^{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}=\epsilon ^{ijk}u_{j}v_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\,\!}$。

所以，

${\displaystyle \ w^{i}=\epsilon ^{ijk}u_{j}v_{k}\,\!}$。

向量的共变分量和反变分量

在欧几里得空间${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$里，共变向量和反变向量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从向量求得余向量；对于所有向量${\displaystyle \mathbf {b} \,\!}$，通过下述方程式，向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$唯一地确定了余向量${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$：

${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(\mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \,\!}$。

逆过来，通过上述方程式，每一个余向量${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$唯一地确定了向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$。由于这向量与余向量的相互辨认，我们可以提到向量的共变分量和反变分量；也就是说，它们只是同样向量对于基底和其对偶基底的不同表现。

给予${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$的一个基底${\displaystyle {\mathfrak {f}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\,\!}$，则必存在一个唯一的对偶基底${\displaystyle {\mathfrak {f}}^{\sharp }=(Y^{1},Y^{2},\dots ,Y^{n})\,\!}$，满足

${\displaystyle Y^{i}\cdot X_{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}$；

其中，张量${\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}$是克罗内克函数。

以这两种基底，任意向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$可以写为两种形式

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=\sum _{i}a^{i}[{\mathfrak {f}}]X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {a} [{\mathfrak {f}}]\\&=\sum _{i}a_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {a} [{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle a^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}$是向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$对于基底${\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!}$的反变分量，${\displaystyle a_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}$是向量${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$对于基底${\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!}$的共变分量，

欧几里得空间

将向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 投影于坐标轴${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\,\!}$，可以求得其反变分量${\displaystyle a^{i}\,\!}$；将向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$投影于坐标曲面的法线${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$，可以求得其共变分量${\displaystyle a_{i}\,\!}$。

在欧几里得空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\,\!}$里，使用内积运算，能够从向量求得余向量。给予一个可能不是标准正交基的基底，其基底向量为${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}$，就可以计算其对偶基底的基底向量：

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\tau }}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \tau =\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,\!}$是基底向量${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}$共同形成的平行六面体的体积。

反过来计算，

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\tau '}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \tau '=\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})=1/\tau \,\!}$是基底向量${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}\,\!}$、${\displaystyle \mathbf {e} ^{3}\,\!}$共同形成的平行六面体的体积。

虽然${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$与${\displaystyle \mathbf {e} ^{j}\,\!}$并不相互标准正交，它们相互对偶：

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}\,\!}$。

虽然${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\,\!}$与${\displaystyle \mathbf {e} _{j}\,\!}$并不相互标准正交，它们相互对偶：

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}$。

这样，任意向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$的反变分量为

${\displaystyle a^{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad a^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad a^{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{3}\,\!}$。

类似地，共变分量为

${\displaystyle a_{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad a_{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad a_{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}\,\!}$。

这样，${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$可以表示为

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} ^{i}=a_{1}\mathbf {e} ^{1}+a_{2}\mathbf {e} ^{2}+a_{3}\mathbf {e} ^{3}\,\!}$，

或者，

${\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}=a^{1}\mathbf {e} _{1}+a^{2}\mathbf {e} _{2}+a^{3}\mathbf {e} _{3}\,\!}$。

综合上述关系式，

${\displaystyle \mathbf {a} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}\,\!}$。

向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$的共变分量为

${\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=(a^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})a^{j}=g_{ji}a^{j}\,\!}$；

其中，${\displaystyle g_{ji}=\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i}\,\!}$是度规张量。

向量${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$的反变分量为

${\displaystyle a^{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(a_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})a_{j}=g^{ji}a_{j}\,\!}$ ;

其中，${\displaystyle g^{ji}=\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i}\,\!}$是共轭度规张量。

共变分量的标号是下标，反变分量的标号是上标。假若共变基底向量组成的基底是标准正交基，或反变基底向量组成的基底是标准正交基，则共变基底与反变基底相互等价。那么，就没有必要分辨共变分量和反变分量，所有的标号都可以用下标来标记。

抽象定义

思考维度为${\displaystyle n\,\!}$的向量空间${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$。给予一个可能不是标准正交基的基底${\displaystyle (\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n})\,\!}$。那么，在${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$内的向量${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$，对于这基底，其分量为${\displaystyle v^{1}\,\!}$、${\displaystyle v^{2}\,\!}$、...${\displaystyle v^{n}\,\!}$。以方程式表示，

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}.\,\!}$。

在这方程式右手边，标号${\displaystyle i\,\!}$在同一项目出现了两次，一次是上标，一次是下标，因此，从${\displaystyle i\,\!}$等于${\displaystyle 1\,\!}$到${\displaystyle n\,\!}$，这项目的每一个可能值都必须总和在一起。

爱因斯坦约定的优点是，它可以应用于从${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$用张量积和对偶性建立的向量空间。例如，${\displaystyle \mathbb {V} \otimes \mathbb {V} \,\!}$，${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$与自己的张量积，拥有由形式为${\displaystyle \mathbf {e} _{ij}=\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,\!}$的张量组成的基底。任意在${\displaystyle \mathbb {V} \otimes \mathbb {V} \,\!}$内的张量${\displaystyle \mathbf {T} \,\!}$可以写为

${\displaystyle \mathbf {T} =T^{ij}\mathbf {e} _{ij}\,\!}$。

向量空间${\displaystyle \mathbb {V} \,\!}$的对偶空间${\displaystyle \mathbb {V} ^{*}\,\!}$拥有基底${\displaystyle (\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\dots ,\mathbf {e} ^{n})\,\!}$，遵守规则

${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}$；

其中，${\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}$是克罗内克函数。

范例

为了更明确地解释爱因斯坦求和约定，在这里给出几个简单的例子。

• 思考四维时空，标号的值是从0到3。两个张量，经过张量缩并（tensor contraction）运算后，变为一个标量：

${\displaystyle c=a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b_{0}+a^{1}b_{1}+a^{2}b_{2}+a^{3}b_{3}\,\!}$。

• 方程式的右手边有两个项目：

${\displaystyle c^{\nu }=a^{\mu \nu }b_{\mu }+f^{\nu }=a^{0\nu }b_{0}+a^{1\nu }b_{1}+a^{2\nu }b_{2}+a^{3\nu }b_{3}+f^{\nu }\,\!}$。

由于运算结果与标号${\displaystyle \mu \,\!}$和${\displaystyle \nu \,\!}$无关，可以被其它标号随意更换，所以，${\displaystyle \mu \,\!}$和${\displaystyle \nu \,\!}$称为傀标号。

自由标号是没有被总和的标号。自由标号应该出现于方程式的每一个项目里，而且在每一个项目里只出现一次。在上述方程式里，${\displaystyle \nu \,\!}$是自由标号，每一个项目都必须有同样的自由标号。注意到在项目${\displaystyle a^{\mu \nu }b_{\mu }\,\!}$里，标号${\displaystyle \mu \,\!}$出现了两次，一次是上标，一次是下标，所以，这项目的所有可能值都必须总和在一起。称${\displaystyle \mu \,\!}$为求和标号。

• 思考在黎曼空间的弧线元素长度${\displaystyle ds\,\!}$：

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}=g_{0j}dx^{0}dx^{j}+g_{1j}dx^{1}dx^{j}+g_{2j}dx^{2}dx^{j}+g_{3j}dx^{3}dx^{j}\,\!}$。请将这两种标号跟自由变量和约束变量相比较。

进一步扩展，

${\displaystyle ds^{2}=g_{00}dx^{0}dx^{0}+g_{10}dx^{1}dx^{0}+g_{20}dx^{2}dx^{0}+g_{30}dx^{3}dx^{0}\,\!}$

${\displaystyle \qquad +g_{01}dx^{0}dx^{1}+g_{11}dx^{1}dx^{1}+g_{21}dx^{2}dx^{1}+g_{31}dx^{3}dx^{1}\,\!}$

${\displaystyle \qquad +g_{02}dx^{0}dx^{2}+g_{12}dx^{1}dx^{2}+g_{22}dx^{2}dx^{2}+g_{32}dx^{3}dx^{2}\,\!}$

${\displaystyle \qquad +g_{03}dx^{0}dx^{3}+g_{13}dx^{1}dx^{3}+g_{23}dx^{2}dx^{3}+g_{33}dx^{3}dx^{3}\,\!}$。

注意到${\displaystyle ds^{2}\,\!}$是${\displaystyle ds\,\!}$乘以${\displaystyle ds\,\!}$，是${\displaystyle (ds)^{2}\,\!}$，而不是${\displaystyle (s^{2})\,\!}$坐标的微小元素。当有疑虑时，可以用括号来分歧义。

参阅

• 狄拉克标记
• 抽象指标记号
• 潘洛斯图形标记法（Penrose graphical notation）

参考文献

1. Einstein, Albert, The Foundation of the General Theory of Relativity, Annalen der Physik, 1916 [2006-09-03], （原始内容 (PDF)存档于2007-07-22）
2. Byron, Frederick; Fuller, Robert, Mathematics of classical and quantum physics, Courier Dover Publications: pp. 5, 1992, ISBN 9780486671642 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Kuptsov, L.P., Einstein rule, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4.

外部链接

• Rawlings, Steve, Lecture 10 - Einstein Summation Convention and Vector Identities (PDF), Oxford University, 2007-02-01 [2010-05-10], （原始内容 (PDF)存档于2017-01-06）