平行六面体

在几何学中，平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体，是一种平行多面体。它与平行四边形的关系，正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许，但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为：

• 六个面都是平行四边形的多面体；
• 有三对对面平行的六面体；
• 底面为平行四边形的棱柱。

平行六面体

平行六面体
类别	柱体
对偶多面体	平行四面轴正轴体
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	2 4 | 2
性质
面	6
边	12
顶点	8
欧拉特征数	F=6, E=12, V=8 （χ=2）
组成与布局
面的种类	平行四边形×6
对称性
对称群	Ci, [2+,2+], (×), order 2
特性
凸、环带多面体
查 论 编

长方体（六个面都是长方形）、正方体（六个面都是正方形），以及菱面体（六个面都是菱形）都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是拟柱体的一个子类。

性质

平行六面体可由正方体经线性变换而成。

用相同的平行六面体，可以镶嵌整个空间。

体积

基本公式

平行六面体的体积是底面 ${\displaystyle A}$ 与高 ${\displaystyle h}$ 的乘积，即

${\displaystyle V=Ah}$ 。

这里的高是底面与对面的垂直距离。

以向量计算

用向量来定义平行六面体。

另外一个方法是用向量 ${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})}$ ， ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})}$ ，以及 ${\displaystyle \mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})}$ 来表示相交于一点的三条棱。平行六面体的体积 ${\displaystyle V}$ 等于标量三重积：

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )|=|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )|}$。

证明：

以 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {c} }$ 来表示底面的边，则根据向量积的定义，底面的面积 ${\displaystyle A}$ 为：

${\displaystyle A=|\mathbf {b} ||\mathbf {c} |\sin \theta =|\mathbf {b} \times \mathbf {c} |}$ ，

其中 ${\displaystyle \theta }$ 是 ${\displaystyle \mathbf {b} }$ 与 ${\displaystyle \mathbf {c} }$ 之间的角，而高为：

${\displaystyle h=|\mathbf {a} |\cos \alpha }$，

其中 ${\displaystyle \alpha }$ 是 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 与 ${\displaystyle h}$ 之间的角。

从图中我们可以看到， ${\displaystyle \alpha }$ 的大小限定为 ${\displaystyle 0^{\circ }\leq \alpha <90^{\circ }}$ 。而向量 ${\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} }$ 与 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 之间的角 ${\displaystyle \beta }$ 则有可能大于90°（${\displaystyle 0^{\circ }\leq \beta <180^{\circ }}$）。也就是说，由于 ${\displaystyle \mathbf {b} \times \mathbf {c} }$ 与 ${\displaystyle h}$ 平行， ${\displaystyle \beta }$ 的值要么等于 ${\displaystyle \alpha }$ ，要么等于 ${\displaystyle 180^{\circ }-\alpha }$ 。因此：

${\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =|\cos \beta |}$，

且

${\displaystyle h=|\mathbf {a} ||\cos \beta |}$。

我们得出结论：

${\displaystyle V=Ah=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} \times \mathbf {c} ||\cos \beta |}$ ，

于是，根据标量积的定义，它等于 ${\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}$ 的绝对值，即：

${\displaystyle V=|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|}$。

证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值：

${\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|}$。

以棱长及夹角计算

若 ${\displaystyle a}$ 、${\displaystyle b}$ 及 ${\displaystyle c}$ 是三条两两相邻的棱长，且${\displaystyle \alpha }$ 、 ${\displaystyle \beta }$ 及 ${\displaystyle \gamma }$ 是三条棱边的夹角，则平行六面体的体积为：

${\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )}}}$ 。

证明

从上面可知，平行六面体的体积可表示为：

${\displaystyle V=|\det \mathbf {D} |}$

其中：

${\displaystyle \mathbf {D} ={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}}$。

因此

${\displaystyle V^{2}=\det(\mathbf {D} \mathbf {D} ^{t})=\det {\begin{bmatrix}a\cdot a&a\cdot b&a\cdot c\\b\cdot a&b\cdot b&b\cdot c\\c\cdot a&c\cdot b&c\cdot c\end{bmatrix}}}$

依行列式及标量积定义展开公式右手边，即可得上述公式。

以座标计算

选取任意一顶点 ${\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}$ 以其相邻三个顶点 ${\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})}$ 、 ${\displaystyle (x_{3},y_{3},z_{3})}$ 及 ${\displaystyle (x_{4},y_{4},z_{4})}$ ，则体积可表示为：

${\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&z_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&z_{3}&1\\x_{4}&y_{4}&z_{4}&1\\\end{bmatrix}}\right|.}$

特殊情况

如果平行六面体具有对称平面，则一定是以下两种情况之一：

• 四个面是长方形；
• 两个面是菱形，而在另外四个面中，两个相邻面相等，另外两个面也相等。

长方体是六个面都是长方形的平行六面体；正方体是六个面都是正方形的平行六面体。

菱面体是六个面都是菱形的平行六面体；三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。

完美平行六面体

完美平行六面体指棱长、面对角线和体对角线都是整数的平行六面体。在2009年，发现了数十个完美平行六面体的例子^[1]，包括棱长271、106及103，劣面对角线长101、 266及255，优面角线长183、 312及323,以及体对角线长374、 300、 278及272的平行六面体。

超平行体

平行六面体在高维空间的推广称为超平行体。

特别地，n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此，平行四边形就是2维超平行体，平行六面体就是3维超平行体。

n维超平行体的所有对角线相交于一点，并被这个点所平分。

位于${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$空间中的n维超平行体的n维体积（${\displaystyle m\geq n}$），可以用格拉姆行列式的方法来计算。

参考文献

• Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 平行六面体. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. 超平行体. MathWorld.

1. Sawyer, Jorge F.; Reiter, Clifford A. Perfect parallelepipeds exist. Mathematics of Computation. 2011, 80: 1037–1040. arXiv:0907.0220 . doi:10.1090/s0025-5718-2010-02400-7..