正二十四胞体堆砌

在四维几何学中，正二十四胞体堆砌是三种四维空间正堆砌体之一，由正二十四胞体独立堆砌而成，其对偶多胞体为正十六胞体堆砌^[1][2]。

正二十四胞体堆砌
类型	正四维堆砌
家族	正图形
维度	4
对偶多胞形	正十六胞体堆砌
识别
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	icot
数学表示法
施莱夫利符号	{3,4,3,3} r{3,3,4,3} 2r{4,3,3,4} 2r{4,3,31,1} {31,1,1,1}
性质
四维胞	{3,4,3}
胞	{3,4}
面	{3}
欧拉示性数	0
组成与布局
棱图	{3,3}
顶点图	{4,3,3}
对称性
考克斯特群	${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$, [3,4,3,3] ${\displaystyle {\tilde {C}}_{4}}$, [4,3,3,4] ${\displaystyle {\tilde {B}}_{4}}$, [4,3,31,1] ${\displaystyle {\tilde {D}}_{4}}$, [31,1,1,1]
特性
正
查 论 编

性质

正二十四胞体堆砌在施莱夫利符号中用 ${\displaystyle \left\{3\,,4\,,3\,,3\right\}}$ 表示，代表每个三角形面周围都环绕着3个正二十四胞体，也称为三阶正二十四胞体堆砌。正二十四胞体堆砌每条棱周围都有4个正二十四胞体，棱图为正四面体；每个顶点都是8个正二十四胞体的公共顶点，顶点图为超立方体。

牛顿数

若将3-球体内切入这个堆砌体的每个超胞，则产生的结果将会是四维空间中可能的正超球体填充中最紧密的一种排布，其牛顿数（英语：Kissing number）为24^[3]。其堆积密度为：

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}\cong 0.61685}$。

顶点座标

正二十四胞体堆砌可以建构于D₄或F₄根网格（英语：F4 (mathematics)）的沃罗诺伊图，每个正二十四胞体几何中心都位于D₄网格的顶点上，即

${\displaystyle \left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{4}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}}$

座标的位置。

这些点也可以使用奇平方范数的赫尔维茨整数（一个整的四元数，又称赫尔维茨四元数（英语：Hurwitz_quaternion））来描述。

正二十四胞体堆砌的顶点座标可以位于 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\left(i+{\frac {1}{2}}\,,\,j+{\frac {1}{2}}\,,\,k\,,\,l\right)\end{smallmatrix}}}$、 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\left(i+{\frac {1}{2}}\,,\,j\,,\,k+{\frac {1}{2}}\,,\,l\right)\end{smallmatrix}}}$、 ${\displaystyle {\begin{smallmatrix}\left(i+{\frac {1}{2}}\,,\,j\,,\,k\,,\,l+{\frac {1}{2}}\right)\end{smallmatrix}}}$、 (i,j+½,k+½,l)、 (i,j+½,k,l+½)、 (i,j,k+½,l+½) 的点上

相关多胞体与堆砌

正二十四胞体堆砌是四维空间三种正堆砌体之一，其他的四维空间正堆砌体有：

图像	超立方体堆砌	正十六胞体堆砌	正二十四胞体堆砌
施莱夫利符号	{4,3,3,4}	{3,3,4,3}	{3,4,3,3}

参见

• 截角正五胞体堆砌（英语：Truncated 5-cell honeycomb）
• 全截正五胞体堆砌（英语：Omnitruncated 5-cell honeycomb）
• 截角正二十四胞体堆砌（英语：Truncated 24-cell honeycomb）
• 截半正二十四胞体堆砌（英语：Rectified 24-cell honeycomb）
• 扭棱正二十四胞体堆砌（英语：Snub 24-cell honeycomb）

参考文献

1. Klitzing, Richard. 4D Euclidean tesselations. bendwavy.org. o4o3x3o4o, o3x3o *b3o4o, o3x3o *b3o4o, o3x3o4o3o, o3o3o4o3x icot - O88
2. Klitzing, Richard. icot, icositetrachoric tetracomb. bendwavy.org. （原始内容存档于2016-09-21）.
3. O. R. Musin. The problem of the twenty-five spheres. Russ. Math. Surv. 2003, 58: 794–795. doi:10.1070/RM2003v058n04ABEH000651.

• Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II: Regular honeycombs
• Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  • (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) (Complete list of 11 convex uniform tilings, 28 convex uniform honeycombs, and 143 convex uniform tetracombs) - Model 88