小立方立方八面体

在几何学中，小立方立方八面体是一种星形多面体，由20个面组成，其顶点图为一个折四边形。其索引为U₁₃ 。其对偶多面体为小六角星化二十四面体。

小立方立方八面体

类别	星形均匀多面体
对偶多面体	小六角星化二十四面体（英语：Small hexacronic icositetrahedron）
识别
名称	小立方立方八面体
参考索引	U13, C38, W69
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	Socco
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3/2 4 | 4 3 4/3 | 4
性质
面	20
边	48
顶点	24
欧拉特征数	F=20, E=48, V=24 （χ=-4）
组成与布局
面的种类	8个正三角形{3} 6个正方形{4} 6个正八边形{8}
面的布局 （英语：Face configuration）	8{3}+6{4}+6{8}
顶点图	4.8.3/2.8
顶点布局 （英语：Vertex_configuration）	4.8.3/2.8
对称性
对称群	Oh, [4,3], *432
图像
4.8.3/2.8 （顶点图） 小六角星化二十四面体（英语：Small hexacronic icositetrahedron） （对偶多面体）
查 论 编

性质

小立方立方八面体共有20个面48条边和24个顶点^[1]，由正三角形、正方形和正八边形组成，其顶点以正方形-正八边形-反三角形-正八边形的顺序组成，顶点图是一个折四边形，换句话说即其顶点被切去之后会露出一个折四边形的形状。其中反三角形为讨论顶点图时顶点连接顺序与其他多边形相反，几何上与其他三角形是相同的。

面的组成

小立方立方八面体由20个面组成，其中有8个正三角形、6个正方形和6个正八边形，每个顶点都是1个三角形、1个正方形和2个正八边形公共顶点。

二面角

小立方立方八面体的有两种二面角，分别为八边形-正方形二面角和八边形-三角形二面角。其中，八边形-正方形二面角为直角、八边形-三角形二面角为三平方根的倒数之反余弦值^[2]：

${\displaystyle \cos ^{-1}({\frac {\sqrt {3}}{3}})\approx 0.9553166\approx 54.7356^{\circ }}$

其中，${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$是三平方根倒数化简后的结果。

顶点座标

重心位于原点的小立方立方八面体，其顶点座标为：^[3]

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}})}$

${\displaystyle (\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1+{\sqrt {2}}}{2}},\pm {\frac {1}{2}})}$

分类

由于小立方立方八面体的顶点图为交叉梯形且具备点可递的特性，同时，其存在自相交的面，因此小立方立方八面体是一种自相交拟拟正多面体（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）。自相交拟拟正多面体一共有12种^[4]，除了小双三角十二面截半二十面体外，其余由阿尔伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）于1881年发现并描述。^[5]

自相交拟拟正多面体
（Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra）

小立方立方八面体	大立方截半立方体	非凸大斜方截半立方体	小十二面截半二十面体
大十二面截半二十面体	小双三角十二面截半二十面体	大双三角十二面截半二十面体	二十面化截半大十二面体
小二十面化截半二十面体	大二十面化截半二十面体	斜方截半大十二面体	非凸大斜方截半二十面体

相关多面体及镶嵌

小立方立方八面体和星形截角立方体有着相同的顶点布局（英语：vertex arrangement）。

小斜方截半立方体

小立方立方八面体

小斜方立方体

星形截角立方体

参见

• 小斜方截半立方体

参考文献

1. Richter, David A., How to Make the Mathieu Group M₂₄, [2010-04-15], （原始内容存档于2010-01-16）

1. small cubicuboctahedron. bulatov.com. [2016-09-10]. （原始内容存档于2016-03-04）.
2. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra: Small Cubicuboctahedron. dmccooey.com. （原始内容存档于2016-03-24）.
3. Data of Small Cubicuboctahedron. （原始内容存档于2017-03-24）.
4. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Quasi-Regular Polyhedra. [2022-08-07]. （原始内容存档于2022-08-22）.
5. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 小立方立方八面體. MathWorld.