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三间小屋问题(three cottages problem)也称为水、天然气及电力问题(water, gas and electricity)或Three utilities problem,是经典的数学谜题,描述如下:
假设在平面上(或是在球面上)有三间小屋,要连接到天然气公司、水厂以及电力公司。若不考虑使用立体架构,也不通过任何小屋或是其他公共设备来传送资源,是否可以用九条线连结三间小屋及三间公共设备,而且九条线完全没有交错?
三间小屋问题无解,无法在平面上画出让这些连接线不交错的图形。
三间小屋问题是抽象数学问题,是数学领域中拓扑图论的问题,拓扑图论是研究曲面上图的嵌入。若用正式的图论术语,此问题在问完全二分图K3,3是否是平面图,可以让中间的线没有交叉[1]。此图形也常称为utility graph[2],也称为汤玛森图(Thomsen graph)[3]。
美国数学家大卫·库尔曼(David E. Kullman)曾经回顾过三间小屋问题的历史。他提到大部分有提到此问题的出版资料,都认为此问题是很早就有的[4]。在库尔曼找到最早的文献中,亨利·杜德耐在1917年将此问题命名为“water, gas and electricity”,不过杜德耐也提到“这个问题和山一样古老,比电灯要早很多,甚至比煤气还要早。[5]”杜德耐之前也曾在1913年的《The Strand Magazine》中刊过同一个问题[6]。
此问题另一个早期的版本是让三个房屋和三个井都连接[7]。另一个不同的版本(而且可以解的)是和三个房屋和三个水泉有关,谜题仍然是找到不互相交叉的路径,不过只需要让三个房屋分别各和一个水泉连接即可,就像Numberlink游戏的规则一様 [8]。
在数学上,此问题可以表示为完全二分图K3,3的图形绘制。此图曾在亨内贝格尔1908年的论文中出现过[9]。这个图有六个顶点,分为二组,每组三个顶点,有九个边,分别对应从一组的任意点连到另一组的任意点的九种组合。此问题就是问这个图是否是平面图,可以在平面上绘制,而各边不会交叉[1]。
若将汤玛森图画在二维空间中,就无法避免交叉,三间小屋问题的答案是“不行”。没有办法画出这九条线而彼此又没有交叉。 换句话说,K3,3图不是平面图。卡齐米日·库拉托夫斯基在1930年提出K3,3图不是平面图的概念[10],因此三间小屋问题没有解。不过库尔曼曾提到:“很特别的是,库拉托夫斯基没有发表[ K3,3是]非平面的细部证明”[4]。
有一个证明无法将K3,3嵌入平面图中的证明,其中用到了有关若尔当曲线定理的案例分析。在此作法中会检查图中所有的四顶点圈中,顶点各种可能的位置,证明全部都和平面图不相容[11]。
另一种作法,也可以证明所有有V个顶点,E个边的无桥二分平面图,会满足E ≤ 2V − 4,证明方式是结合欧拉示性数 V − E + F = 2(其中F是平面嵌入的面数)以及观察其面的个数最多只有边的一半(每一个面边上的顶点,都会照着小屋-公共资源的顺序轮流出现,因此每一个面会有四个边,每一边会属于二个面)。在K3,3图中,E = 9且2V − 4 = 8,违反了上述的不等式,因此汤玛森图不是平面图[12]。
平面图有二个重要特征:库拉托夫斯基定理提到平面图就是无法分割出K3,3或是完全图K5的图,而瓦格纳定理提到平面图就是其次图中没有K3,3或K5的图,这二个定理都用到汤玛森图K3,3图的非平面特性。
K3,3是环面图,在环面可以画出K3,3,不会有线段彼此交叉的问题。以三间小屋问题来说,也就是若将平面(或是球面)上挖两个洞,且在平面(或是球面)下使这二个洞连通,这就改变表面的拓朴性质,而三间小屋问题即可有解。另一种等效的说法是K3,3图的图亏数为1,因此无法嵌入亏格小于一的曲面。亏格为一的曲和环面是等效的。嵌入环面中的K3,3可以用如上所述,用挖洞连通的方式代替交叉而得,在交叉二条线中选择一条,在交叉的二侧挖洞连通,让这条线经过挖好连通的洞,就没有交叉问题了。另一个解法是允许线通过其他的小屋或是其他的公共资源,所增加的自由度即可使三间小屋问题有解答。
匈牙利数学家图兰·帕尔的砖厂问题问了更广泛的问题,要找出二个集合的顶点数分别是a个及b个的完全二分图Ka,b,其交叉数的公式。像K3,3可以在有一个交叉的情形下画出,但无法在没有交叉的情形下画出,因此其交叉数为1[13]。
汤玛森图K3,3是循环图,也是(3,4)-cage(每一个顶点和三个顶点相连,其中的最小环有四个边),最小的无三角形三次图[3]。汤玛森图类似其他完全二分图,是良好覆盖图,意思是所有最大独立集的大小都相同。图中只有二个最大独立集,分别是完全二分图二侧的端点,这二组集合的大小相同。 三次三连通良好覆盖图共有七个,K3,3是其中的一个[14]。
K3,3也是Laman图,若在平面上排列(允许交叉)的话可以形成最简刚体结构,K3,3也是非平面Laman图中最小的例子之一,K5的顶点数量比K3,3要少,也是最简非平面图,但无法形成刚体结构。
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