CKM矩阵的电弱标准模型定义为
此处的
和
分别为可以将上型夸克与下型夸克的质量矩阵
和
对角化的幺正转换矩阵(unitary transformation matrix)。
因此,要得到一个带有复数的CKM矩阵需有以下两个必要但非充分条件:
和
其中至少须有一个带有复数,否则CKM矩阵必为纯实数。
- 即使两者皆带有复数,
和
不可以相同,亦即
,否则CKM矩阵必为单位矩阵
。
以一个有三代费米子的标准模型来说,费米子质量矩阵(夸克与轻子都适用)的最通用形式可以写成如下样式:
这样的非赫米尔特(non-Hermitian)M矩阵有9个复数元素以及18个参数,因为每个复数元素各有2个参数,一个是实数部的系数,一个是虚数部的系数。这样的3X3矩阵显然难以被直接对角化。然而,
这样的矩阵却是自然为赫米尔特的,而且它和原来的非赫米尔特M矩阵拥有相同的U矩阵,这个矩阵可以表为
<
这个矩阵中的参数可以写为M矩阵中的参数(=汤川偶合的对应参数*希格氏偶的真空期望值)的各种组合如下:
既然对角化一个有9个参数的矩阵结果跟对角化一个有18个参数的M矩阵一样,那以
为对象就是很自然而合理的选择。
这个问题的理想解法自然是将M和
矩阵直接对角化求得其本征值跟本征矢量(或相当于转换矩阵U)。只是,即使是只有9个参数的
矩阵还是太复杂。所以,假设
的实数部
跟虚数部
可以分别被同一个U矩阵对角化,那这个假设会引进底下这个关系式并进一步将参数由9个减少至5个
根据以上想法,
可以进一步简化为以下样貌:
在此令
and
。
有解析解(analytical solutions),其本征值如下:
而其对应的U矩阵则如下:
然而,这些本征值的排列顺序和物理上的夸克质量顺序并无必然对应关系,所以同一型夸克的3个本征值和3代夸克的对应方式有6种可能,上d夸克各6种,总共可以组合出36种CKM矩阵样态[1]
[2]
在36种可能中,以下这4个在和实验数据比对时最接近。在0阶(tree level)时可以达到差异小于
的程度
and
此处
为Wolfenstein参数之一。
求得
和
的完整样貌如下:
和实验所得的CKM矩阵各元素比较得到的最佳结果为
自从1964年CP破坏被发现以来,物理学家相信在标准模型的框架下,只要找到适当的汤川偶合矩阵(乘上希格式偶的真空期望值v即为质量矩阵)并将之对角化,即可以产生带有复数(亦即CP是不对称)的CKM矩阵。以上论述具体指出了什么样的质量矩阵能够产生CP不守恒,填补了标准模型在这方面的空缺。