非线性系统

在物理科学中，如果描述某个系统的方程其输入（自变数）与输出（应变数）不成正比，则称为非线性系统。由于自然界中大部分的系统本质上都是非线性的，因此许多工程师、物理学家、数学家和其他科学家对于非线性问题的研究都极感兴趣。非线性系统和线性系统最大的差别在于，非线性系统可能会导致混沌、不可预测，或是不直观的结果。

一般来说，非线性系统的行为可以用一组非线性联立方程来描述。非线性方程里含有由未知数构成的非线性函数；换句话说，一个非线性方程并不能写成其未知数的线性组合。非线性微分方程，则是指方程里含有未知函数及其导函数的乘幂不等于一的项。在判定一个方程是线性或非线性时，只需考虑未知数（或未知函数）的部分，不需要检查方程中是否有已知的非线性项。例如在微分方程中，若所有的未知函数、未知导函数皆为一次，即使出现由某个已知变数所构成的非线性函数，仍称它是线性微分方程。

由于非线性方程非常难解，因此常常需要以线性方程来近似一个非线性系统（线性近似）。这种近似对某范围内的输入值（自变数）是很准确的，但线性近似之后反而会无法解释许多有趣的现象，例如孤波、混沌^[1]和奇点。这些奇特的现象，也常常让非线性系统的行为看起来违反直觉、不可预测，或甚至混沌。虽然“混沌的行为”和“随机的行为”感觉很相似，但两者绝对不能混为一谈；也就是说，一个混沌系统的行为绝对不是随机的。

举例来说，许多天气系统就是混沌的，微小的扰动即可导致整个系统产生各种不同的复杂结果。就目前的科技而言，这种天气的非线性特性即成了长期天气预报的绊脚石。

某些书的作者以非线性科学来代指非线性系统的研究，但也有人不以为然：

“在科学领域里使用‘非线性科学’这个词，就如同把动物学里大部分的研究对象称作‘非大象动物’一样可笑。”

——斯塔尼斯拉夫·乌拉姆^[2]

定义

在数学上，一个线性函数（映射）${\displaystyle f(x)}$ 拥有以下两个性质：

• 叠加性：${\displaystyle \textstyle f(x+y)\ =f(x)\ +f(y)}$；
• 齐次：${\displaystyle \textstyle f(\alpha x)\ =\alpha f(x)}$。

在 α 是有理数的情况下，一个可叠加函数必定是齐次函数（在讨论线性与否时，齐次函数专指一次齐次函数）；若 ${\displaystyle f(x)}$ 是连续函数，则只要 α 是任意实数，就可以从叠加性推出齐次。然而在推广至任意复数 α 时，叠加性便再也无法导出齐次了。也就是说，在复数的世界里存在一种反线性映射，它满足叠加性，但却非齐次。叠加性和齐次这两个条件常会被合并在一起，称之为叠加原理：

${\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)\,}$。

对于一个表示为

${\displaystyle f(x)=C\,}$

的方程，如果 ${\displaystyle f(x)}$ 是一个线性映射，则称为线性方程，反之则称为非线性方程。另外，如果 ${\displaystyle C=0}$，则称此方程齐次（齐次在函数和方程上的定义不同，齐次方程指方程内没有和 x 无关的项 C，即任何项皆和 x 有关）。

这里 ${\displaystyle f(x)=C}$ 的定义是很一般性的，${\displaystyle x}$ 可为任何数字、矢量、函数等，而 ${\displaystyle f(x)}$ 可以指任意映射，例如有条件限制（给定初始值或边界值）的微分或积分运算。如果 ${\displaystyle f(x)}$ 内含有对 ${\displaystyle x}$ 的微分运算，此方程即是一个微分方程。

非线性代数方程

主条目：代数方程

主条目：多项式

代数方程又称为多项式方程。令某多项式等于零可得一个多项式方程，例如：

${\displaystyle x^{2}+x-1=0\,}$。

利用勘根法可以找出某个代数方程的解；但若是代数方程组则较为复杂，有时候甚至很难确定一个代数方程组是否具有复数解（见希尔伯特零点定理）。即使如此，对于一些具有有限个复数解的多项式方程组而言，我们已经找到解的方法，并且也已充分了解这种系统的行为^[3]。代数方程组的研究是代数几何里重要的一环，而代数几何正是现代数学里的其中一个分枝。

非线性递回关系

若将一个序列前项和后项之间的关系定义成某个非线性映射，则称为非线性递回关系，例如单峰映射和侯世达数列（英语：Hofstadter sequence）。由非线性递回关系构成的非线性离散模型，在实际应用中包括 NARMAX（Nonlinear AutoRegressive Moving Average with eXogenous inputs，外部输入非线性自回归移动平均）模型、非线性系统辨识和分析程序等。^[4]这些方法可以用来分析时域、频域和时空域（spatio-temporal domains）里复杂的非线性行为。

非线性微分方程

若描述一个系统的微分方程是非线性的，则称此系统为非线性系统。含有非线性微分方程的问题，系统彼此间的表现差异极大，而每个问题的解法或是分析方法也都不一样。非线性微分方程的例子如流体力学的纳维-斯托克斯方程，以及生物学的洛特卡－沃尔泰拉方程。

解非线性问题最大的难处在于找出未知的解：一般来说，我们无法用已知的解来拼凑出其他满足微分方程的未知解；而在线性的系统里，却可以利用一组线性独立的解，透过叠加原理组合出此系统的通解。例如满足狄利克雷边界条件的一维热传导问题，其解（时间的函数）可以写成许多不同频率之正弦函数的线性组合，而这也让它的解很弹性、具有很大的变化空间。通常我们可以找到非线性微分方程的特解，但由于此时叠加原理并不适用，故无法利用这些特解来建构出其他新的解。

常微分方程

一阶常微分方程常常可以利用分离变数法来解，特别是自守方程

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=f(u)\,}$。

例如

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=-u^{2}\,}$

这个方程的通解为 ${\displaystyle u={\frac {1}{x+C}}}$，特解为 u = 0（即通解在 C 趋近于无限大时的极限）。此方程是非线性的，因为它可以被改写为

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}+u^{2}=0\,}$，

而等号左边并不是 u 的线性映射。若把此式的 u² 换成 u，则会变成线性方程（指数衰减）。

二阶和高阶非线性常微分方程组的解几乎无法表示成解析解，反而较常表为隐函数或非初等函数积分的形式。

分析常微分方程常用的方法包括：

• 检查是否有任何守恒量（特别是在处理哈密顿系统的时候）。
• 检查有没有类似守恒量的耗散量（见李亚普诺夫函数）。
• 利用泰勒展开式作线性近似。
• 利用变数变换法，改写成较易分析的方程。
• 分岔理论。
• 摄动法（也可应用在代数方程上）。

偏微分方程

主条目：非线性偏微分方程

参见：非线性偏微分方程列表

研究非线性偏微分方程最常见也最基础的方法就是变数变换，变换以后的方程会较简单，甚至有可能会变成线性方程。有时候，变数变换后的方程可能会变成一个或两个以上的常微分方程（如同用分离变数法解偏微分方程），不管这些常微分方程可不可解，都能帮助我们了解这个系统的行为。

另一个流体力学和热力学里常用的方法（但数学性较低），是利用尺度分析来简化一个较一般性的方程，使它仅适用在某个特定的边界条件上。例如，在描述一个圆管内一维层流的暂态时，我们可以把非线性的纳维-斯托克斯方程简化成一个线性偏微分方程；这时候尺度分析提供了两个特定的边界条件：一维和层流。

其他分析非线性偏微分方程的方法还有特征线法，以及上述分析常微分方程时常用的方法。

单摆

主条目：单摆

单摆（v 表示速度矢量；a 表示加速度矢量）

非线性问题的一个典型的例子，就是重力作用之下单摆的运动。单摆的运动可由以下的方程来描述（用拉格朗日力学可以证明^[5]）：

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\sin(\theta )=0\,}$。

这是一个非线性且无量纲的方程，${\displaystyle \theta }$ 是单摆和它静止位置所夹的角度，如动画所示。此方程的一个解法是将 ${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}}$ 视为积分因子，积分以后得

${\displaystyle \int {\frac {d\theta }{\sqrt {C_{0}+2\cos(\theta )}}}=t+C_{1}\,}$。

上述的解是隐解的形式，同时也包含了椭圆积分。这个解通常没有什么用，因为非初等函数积分（即使 ${\displaystyle C_{0}=0}$ 仍然是非初等函数）把解的各种特性隐藏了起来，使我们不易看出单摆系统的行为。

另一个解法是把这个非线性方程作线性近似：利用泰勒展开式将非线性的 sine 函数线性化，并在某些特定的点附近讨论解的情形。例如，若在 ${\displaystyle \theta =0}$ 的点附近作线性近似（又称小角度近似），${\displaystyle \theta \approx 0}$ 时，${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$，故原方程可以改写为

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\theta =0\,}$。

近似后的方程变成了简谐振荡，因此当单摆运动到底部附近时，可以对应到一个简谐振子。而若在 ${\displaystyle \theta =\pi }$（即当单摆运动到圆弧的最高点时）附近作线性近似，${\displaystyle \sin(\theta )=\sin(\pi -\theta )\approx \pi -\theta }$，故原方程可以改写为

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+\pi -\theta =0\,}$。

这个方程的解含有双曲正弦函数，因此和小角度近似不同，这个近似是不稳定的，也就是说 ${\displaystyle |\theta |}$ 会无限制地增加（但此近似方程的解也可能是有界的）。当我们把解对应回单摆系统后，就可以了解为什么单摆在圆弧的最高点时不能达到稳定平衡，也就是说，单摆在最高点时是不稳定的状态。

另一个有趣的线性近似是在 ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}}$ 附近，此时 ${\displaystyle \sin(\theta )\approx 1}$，故原方程可以改写为

${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+1=0\,}$，

这个近似后的方程可以对应到自由落体。

若把以上线性近似的结果合在一起看，就能大致了解单摆的运动情形。利用其他解非线性微分方程的方法，可以进一步帮助我们找到更精确的相图，或是估算单摆的周期。

非线性表现（列举）

• 经典混沌（和量子混沌相对）—— 指系统里无法预测的行为。
• 多稳态 —— 指系统在两个或多个互斥的状态之间切换。
• 非周期振荡 —— 指一个函数在任何周期上都不会固定重复其函数值（也称作混沌振荡）。
• 振幅死亡（英语：Amplitude death） —— 指系统内的某振荡因系统的自回馈或受其他系统影响而停止的现象。
• 孤波 —— 指行进中能自我增强而不消散的孤立波。

非线性方程（列举）

• 交流电潮流模型（英语：AC power flow model）
• 代数黎卡提方程
• 球杆系统（英语：Ball and beam system）
• 最佳策略的贝尔曼方程
• 玻尔兹曼方程
• 科尔布鲁克方程（英语：Colebrook equation）
• 广义相对论
• 金兹堡－朗道方程
• 流体力学的纳维－斯托克斯方程
• KdV 方程
• 非线性光学
• 非线性薛定谔方程（英语：Nonlinear Schrödinger equation）
• 未饱和层水流的理查氏方程（英语：Richards equation）
• Sine-Gordon 方程
• 朗道-利夫希兹-吉尔伯特方程
• 石森方程（英语：Ishimori equation）
• 范德波尔方程
• 林纳德方程（英语：Liénard equation）
• 弗拉索夫方程（英语：Vlasov equation）

参见：非线性偏微分方程列表

分析非线性系统

• interalg （页面存档备份，存于互联网档案馆） —— OpenOpt 和 FuncDesigner 架构下的求解器，可用来检查一个非线性代数方程系统是否有任何解，或甚至找出其所有解。
• 非线性模型及其模拟展示（连结至蒙纳许大学的虚拟实验室）
• FyDiK （页面存档备份，存于互联网档案馆） —— 可模拟非线性动态系统的软件。

参见

• 亚历山大·李亚普诺夫
• 动态系统
• 初始条件
• 相互作用
• 线性系统
• 非线性偏微分方程列表
• 模态耦合（英语：Mode coupling）
• 矢量光孤子（英语：Vector soliton）
• 沃尔泰拉级数（英语：Volterra series）
• 平坦性

参考资料

1. Nonlinear Dynamics I: Chaos 互联网档案馆的存档，存档日期2008-02-12. at MIT's OpenCourseWare （页面存档备份，存于互联网档案馆）
2. Campbell, David K. Nonlinear physics: Fresh breather. Nature. 25 November 2004, 432 (7016): 455–456 [2016-11-13]. ISSN 0028-0836. doi:10.1038/432455a. （原始内容存档于2011-10-11） （英语）.
3. Lazard, D. Thirty years of Polynomial System Solving, and now?. Journal of Symbolic Computation. 2009, 44 (3): 222–231. doi:10.1016/j.jsc.2008.03.004.
4. Billings S.A. "Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains". Wiley, 2013
5. David Tong: Lectures on Classical Dynamics. [2016-11-13]. （原始内容存档于2021-04-14）.

延伸阅读

• Diederich Hinrichsen（英语：Diederich Hinrichsen） and Anthony J. Pritchard. Mathematical Systems Theory I - Modelling, State Space Analysis, Stability and Robustness. Springer Verlag. 2005. ISBN 9783540441250.
• Jordan, D. W.; Smith, P. Nonlinear Ordinary Differential Equations fourth. Oxford University Press. 2007. ISBN 978-0-19-920824-1.
• Khalil, Hassan K. Nonlinear Systems. Prentice Hall. 2001. ISBN 0-13-067389-7.
• Kreyszig, Erwin. Advanced Engineering Mathematics. Wiley. 1998. ISBN 0-471-15496-2.
• Sontag, Eduardo. Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition. Springer. 1998. ISBN 0-387-98489-5.

外部链接

• 命令与控制研究计划（Command and Control Research Program, CCRP） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 新英格兰复杂系统研究所 —— 复杂系统的概念（Concepts: Linear and Nonlinear） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 麻省理工开放式课程 （页面存档备份，存于互联网档案馆） —— 非线性动力学一：混沌（Nonlinear Dynamics I: Chaos） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 非线性模型 （页面存档备份，存于互联网档案馆） —— 物理系统的非线性模型数据库（MATLAB）
• 洛斯阿拉莫斯国家实验室的非线性研究中心（The Center for Nonlinear Studies） （页面存档备份，存于互联网档案馆）