赋值向量环

在数论中，赋值向量环或阿代尔环（法文：adèle，英译多用原文）是由一个域 ${\displaystyle F}$ 的所有完备化构成的拓扑环 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$，原域 ${\displaystyle F}$ 可以对角方式嵌入其中。

在现代代数数论中，赋值向量环是处理整体问题的基本语言。

法文原文 adèle 是 idèle additif 的缩写，其中 idèle 意指理想元（élément idéal）。adèle 也是法文中常见的女性名字。

定义

设 ${\displaystyle F}$ 为整体域，例如有理数域 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$、一般的数域或函数域 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(T)}$ 等等。设 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ 为其中的代数整数环。对于所有 ${\displaystyle F}$ 上的赋值 ${\displaystyle v}$（又称位），可定义相应的完备化 ${\displaystyle F_{v}}$。在此，通常将赋值分为有限与无限两类：

• 有限赋值：一一对应于 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{F}}$ 的素理想，两两不相等价。其中的赋值环记为 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$。
• 无限赋值：${\displaystyle F}$ 上的阿基米德赋值。对于数域，无限赋值系由域的嵌入 ${\displaystyle \alpha :F\to \mathbb {C} }$ 给出，两个嵌入 ${\displaystyle \alpha ,\beta :F\to \mathbb {C} }$ 给出等价赋值的充要条件是其间至多差一个复共轭：${\displaystyle \alpha ={\bar {\beta }}}$。无限赋值的个数有限。

有时也以素理想的惯用符号 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 表示赋值，并以 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mid \infty }$ 表示 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ 为无穷赋值。

定义

${\displaystyle \mathbb {A} _{F}:={\prod _{v}}'F_{v}}$

上式的积称为限制积，这是 ${\displaystyle \Pi _{v}F_{v}}$ 的子环，我们要求对其中的每个元素 ${\displaystyle (\alpha _{v})_{v}}$，存在包含所有无穷赋值的有限集 ${\displaystyle S}$，使得 ${\displaystyle v\notin S\Rightarrow \alpha _{v}\in {\mathcal {O}}_{v}}$。赋予 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$ 相应的子空间拓扑，是为赋值向量环。

${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$ 的拓扑由在 ${\displaystyle 0}$ 点的一组局部基确定，可取下述形式之开集：

${\displaystyle (\prod _{v\in S}U_{v})\times (\prod _{v\notin S}{\mathcal {O}}_{v})}$

其中 ${\displaystyle S}$ 是函括所有无限赋值的有限集，${\displaystyle U_{v}\ni 0}$ 是 ${\displaystyle F_{v}}$ 的开子集。根据吉洪诺夫定理可知 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$ 为局部紧拓扑环，这是采限制积定义的原因之一。

性质

• 对角嵌入 ${\displaystyle F\to \Pi _{v}F_{v}\quad (\alpha \mapsto (\alpha )_{v})}$ 的像落在 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$，可证明 ${\displaystyle F}$ 构成 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$ 的离散子集，而商群 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}/F}$ 是紧群。

• 固定 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$ 的任一特征标 ${\displaystyle \psi \neq 1}$，则任何特征标 ${\displaystyle \psi '}$ 皆可唯一地表示成 ${\displaystyle \psi '(x)=\psi (ax)\quad (a\in \mathbb {A} _{F})}$，是故加法群 ${\displaystyle (\mathbb {A} _{F},+)}$ 是其自身的对偶群。这是在赋值向量环上开展调和分析的关键之一。

应用

赋值向量环主要用于代数数论中。对于 ${\displaystyle F}$ 上的代数群 ${\displaystyle G}$，可考虑其上的 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}-}$点 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$。由于代数群总是线性的（换言之，可嵌入 ${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$），${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})}$ 可以具体设想为系数布于环 ${\displaystyle \mathbb {A} _{F}}$ 上的线性群，并带有自然的拓扑结构。

最简单的情形是 ${\displaystyle G=\mathbb {G} _{m}}$，此时 ${\displaystyle G(\mathbb {A} _{F})=\mathbb {A} _{F}^{\times }}$ 称为 idèle 群，这是整体类域论的基石。在郎兰兹纲领中，须考虑更广泛的代数群，以描述数域的绝对伽罗瓦群。

文献

• J. W. S. Cassels, A. Frohlich, Algebraic Number Theory ISBN 0-12-163251-2