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在代数几何中,一个整概形 的函数域 由 上的有理函数组成;对于一般的概形,相应的对象是有理函数层。双有理几何研究的便是由 所决定的几何性质。
若 是仿射整概形, 为开集,则定义 为 的分式域。此时 是 的分式域的常数层。
若 是整概形,而非仿射概形,则任何非空仿射开集都稠密。对任何开集 ,可以一致地定义 ,其中 是任一非空仿射开集;这仍然是对应到一个域的常数层,该域称之为 的函数域。另一种等价定义是 在一般点的茎。
设 为域, 为不可约 -代数簇,则 是 的域扩张,有时也写作 。此扩张的超越次数等于 ,此命题可以化约到仿射簇的情形,再以诺特正规化引理证明。
以下设 为域。
当 不是整概形时, 在开集上的截面可能有零因子,此时分式域并不存在(详见 Kleiman 的文章)。正解如下:
若 局部上可以分解成有限个整概形 (这对局部诺特概形皆成立),则对任何开集 有
此时 是 上的拟凝聚层。
在复代数几何中,基本的对象是不可约复解析簇,其上能局部地开展复分析,由此可以定义复解析簇上的亚纯函数;亚纯函数域是该簇上的亚纯函数之集合。在不可约 -代数簇上,有理函数必为亚纯函数,反之则不然(考虑 );若加上紧致条件,则可证明此时亚纯函数域确等于有理函数域。
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