闭开集

在拓扑学中，闭开集（英语：Clopen set）是拓扑空间中既是开集又是闭集的集合。虽然既“开”又“闭”的定义有些反直觉，但数学上开集与闭集的定义并不互斥。

如同拓扑学家詹姆士·雷蒙·芒克勒斯在他的书中所描述的，集合和门不同的是，“集合可以是打开的(open)，也可以是阖上的(closed)，或者既打开又阖上，又或是既不打开又不阖上！”^[1]强调现实中门的开闭与集合的开闭定义无关。

例子

• 对任何拓扑空间${\displaystyle X}$，空集和整个空间${\displaystyle X}$都是闭开集，有时称它们为平凡闭开集。
• 存在非平凡闭开集。例如，离散空间的任意子集都是闭开集。
• 考虑由两个区间${\displaystyle [0,1]}$和${\displaystyle [2,3]}$的并集构成的空间${\displaystyle X}$。在${\displaystyle X}$上的拓扑是从实直线${\displaystyle \mathbb {R} }$上的正常拓扑继承来的子空间拓扑。在${\displaystyle X}$中，集合${\displaystyle [0,1]}$和${\displaystyle [2,3]}$都是闭开集。这是非常典型的例子：只要空间是由有限数目个不相交连通单元以这种方式构成的，这些单元就是闭开集。
• 不太常见的例子，考虑所有有理数的空间${\displaystyle \mathbb {Q} }$带有它们的正常拓扑，和平方大于2的所有正有理数的集合${\displaystyle A}$。利用${\displaystyle {\sqrt {2}}}$不在${\displaystyle \mathbb {Q} }$中的事实，可以非常容易的证明${\displaystyle A}$是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的闭开子集。（还要注意${\displaystyle A}$不是实直线${\displaystyle \mathbb {R} }$的闭开子集；它在${\displaystyle \mathbb {R} }$中既不是开集也不是闭集。）

性质

• 拓扑空间${\displaystyle X}$连通当且仅当${\displaystyle X}$中仅有的闭开集是空集和${\displaystyle X}$本身。
• 集合是闭开集，当且仅当它的边界是空的。
• 任何闭开集是（可以无限多）连通单元的并集，它的逆命题不成立，因为连通单元一般不是开集。
• 如果${\displaystyle X}$的所有连通单元是开集（例如，如果${\displaystyle X}$只有有限多个单元，或者${\displaystyle X}$是局部连通的），则集合是${\displaystyle X}$中的闭开集，当且仅当它可以表示为连通单元的并集。
• 拓扑空间${\displaystyle X}$是离散的，当且仅当所有它的子集都是闭开集。
• 使用并集和交集作为运算，给定拓扑空间${\displaystyle X}$的闭开子集形成一个布尔代数。“所有”布尔代数都可以按这种方式从适合的拓扑空间获得：参见Stone布尔代数表示定理。

参见

• 开集
• 闭集
• 门空间

注解

1. James R. Munkres. Topology (second edition). United States of America: Pearson. 2017-03-10: 93. ISBN 9780134689517 （英语）.

参考文献

• James R. Munkres