门空间

在数学中，特别是在拓扑学领域，如果每个子集都是开放的或封闭的（或两者兼而有之），则拓扑空间被称为门空间。该术语来自介绍性拓扑助记符，即“子集不像一扇门：它可以是打开的、关闭的、两者兼而有之，或者两者都不是”。

属性和示例

每个门空间都是T ₀ （因为如果${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$是两个拓扑上不可区分的点，单点${\displaystyle \{x\}}$既不开放也不封闭。

门空间的每个子空间都是门空间。 ^[1]门空间的每个商也是如此。 ^[2]

集合上每个比门拓扑更精细的拓扑${\displaystyle X}$也是一种门拓扑结构。

每一个离散空间都是一个门空间。这是无聚点的空间，即其每个点都是孤立点。

每个空间 𝑋 恰好有一个累积点（并且所有其他点都是孤立的）是一个门空间（因为仅由孤立点组成的子集是开放的，而包含累积点的子集是闭合的）。一些例子是：（1）离散空间（也称为堡垒空间）的单点紧致化，其中无穷大处的点是累积点;（2）具有排除点拓扑的空间，其中“排除点”是累积点。

集合上的特定点拓扑给出了具有多个累积点的门空间的示例𝑋 至少有三分。开集是包含特定点的子集 𝑝 ∈ 𝑋, 连同空集。重点 𝑝 是一个孤立点，所有其他点都是累积点。（这是一个门空间，因为每套都包含𝑝是打开的，每组都不包含𝑝已关闭。另一个例子是具有特定点拓扑和离散空间的空间的拓扑和。

集合上的特定点拓扑给出了具有多个累积点的门空间的示例𝑋 至少有三分。开集是包含特定点的子集 𝑝 ∈ 𝑋, 连同空集。重点 𝑝 是一个孤立点，所有其他点都是累积点。（这是一个门空间，因为每套都包含𝑝是打开的，每组都不包含𝑝已关闭。另一个例子是具有特定点拓扑和离散空间的空间的拓扑和。

门间距${\displaystyle (X,\tau )}$没有孤立点的正是具有以下形式的拓扑结构${\displaystyle \tau ={\mathcal {U}}\cup \{\emptyset \}}$对于一些免费的超滤器${\displaystyle {\mathcal {U}}}$在${\displaystyle X.}$ ^[3]这样的空间必然是无限的。

连通门空间有三种类型${\displaystyle (X,\tau )}$ ： ^{[4] [5]}

• 具有排除点拓扑的空间；
• 具有包含点拓扑的空间；
• 具有拓扑结构的空间${\displaystyle \tau }$使得${\displaystyle \tau \setminus \{\emptyset \}}$是免费的超滤器${\displaystyle X.}$

参考

1. Dontchev, Julian. On door spaces (PDF). Indian Journal of Pure and Applied Mathematics. 1995, 26 (9): 873–881 [2024-04-04]. （原始内容存档 (PDF)于2024-04-05）. Theorem 2.6
2. Dontchev 1995，Corollary 2.12.
3. McCartan, S. D. Door Spaces Are Identifiable. Proceedings of the Royal Irish Academy. Section A: Mathematical and Physical Sciences. 1987, 87A (1): 13–16 [2024-04-04]. ISSN 0035-8975. JSTOR 20489255. （原始内容存档于2024-01-07）.
4. McCartan 1987，Corollary 3.
5. Wu, Jianfeng; Wang, Chunli; Zhang, Dong. Connected door spaces and topological solutions of equations. Aequationes Mathematicae. 2018, 92 (6): 1149–1161. ISSN 0001-9054. S2CID 253598359. arXiv:1809.03085 . doi:10.1007/s00010-018-0577-0. Theorem 1