连续性方程

在物理学里，连续性方程（英语：continuity equation）是描述守恒量传输行为的偏微分方程。在适当条件下，质量、能量、动量、电荷等都是守恒量，因此很多传输行为都可以用连续性方程来描述。

连续性方程是局域性的守恒定律方程。与全域性的守恒定律相比，这种守恒定律条件更强。本条目内的所有关于连续性方程的范例都表达了同样的思想──在任意区域内某种守恒量总量的改变，等于从边界进入或离去的数量；守恒量不能够增加或减少，只能够从某一个位置迁移到另一个位置。

每一种连续性方程都既可以用积分形式表达（使用通量积分），描述任意有限区域内的守恒量；也可以用微分形式表达（使用散度算符），描述任意位置的守恒量。其微分形式与积分形式通过散度定理相互关联。

概论

微分形式

一般的连续性方程的微分形式为

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =s}$ ；

其中，${\displaystyle \varphi }$ 是某物理量 ${\displaystyle q}$ 的密度（每单位体积的物理量），${\displaystyle \mathbf {f} }$ 是 ${\displaystyle q}$ 的流量密度（每单位面积每单位时间的物理量）的矢量函数（vector function），${\displaystyle s}$ 是 ${\displaystyle q}$ 在每单位体积每单位时间的生成量。

假若 ${\displaystyle s>0}$ 则称 ${\displaystyle s}$ 为“源点”；假若 ${\displaystyle s<0}$ 则称 ${\displaystyle s}$ 为“汇点”。假设 ${\displaystyle \varphi }$ 是没有产生或湮灭的守恒量，（例如，电荷），则 ${\displaystyle s=0}$ ，连续性方程变为

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {f} =0}$ 。

从简单的“能量连续性方程”到复杂的纳维-斯托克斯方程，这方程可以用来表示任意连续性方程。该方程也是平流方程（advection equation）的推广。

另一些物理学中的方程也具有类似连续性方程的数学形式，例如电场的高斯定律或引力场的高斯重力定律。但是他们通常不被称为连续性方程，因为 ${\displaystyle \mathbf {f} }$ 并不代表真实物理量的流动。

积分形式

在连续性方程的积分形式里，${\displaystyle \mathbb {S} }$ 是包住体积 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的任意闭曲面。如同图内左边的曲面（以蓝色显示），${\displaystyle \mathbb {S} }$ 没有边界；而图内右边的曲面都有边界（以红色显示）。

根据散度定理，连续性方程可以写为等价的积分形式：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =S}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbb {S} }$ 是包住体积 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的任意固定（不随时间改变）闭曲面，${\displaystyle Q}$ 是在体积 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 内的 ${\displaystyle q}$ 总量，${\displaystyle S=\int _{\mathbb {V} }s\ \mathrm {d} ^{3}r}$ 是在积分体积 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 内源点与汇点的总生成量每单位时间，${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {a} }$ 是微小面矢量积分元素。

举一简例，假设 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 是台北101大楼，${\displaystyle Q}$ 是在大楼内某时间的总人数，${\displaystyle \mathbb {S} }$ 是由门口、墙壁、屋顶、地基等等，共同组成的曲面，则连续性方程表明，当人们进入大楼时（代表穿过曲面的内向通量），或当大楼里面的孕妇生产时（代表源点的 ${\displaystyle s>0}$ ），在大楼里面的总人数会增加；而当人们离开大楼时（代表穿过曲面的外向通量），在大楼里面的总人数会减少。

电磁理论

主条目：电荷守恒

在电磁理论里，连续性方程可以视为一条经验定律，表达局域电荷守恒，或是从麦克斯韦方程组推导出的结果。“电荷连续性方程”表明，电荷密度 ${\displaystyle \rho }$ 的变率与电流密度 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 的散度，两者的代数和等于零：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$ 。

麦克斯韦-安培方程满足局域电荷守恒的连续性方程

麦克斯韦-安培方程为

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\ \epsilon _{0}{\frac {\partial E}{\partial t}}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {B} }$ 是磁场，${\displaystyle \mathbf {E} }$ 是电场，${\displaystyle \mu _{0}}$ 是磁常数，${\displaystyle \epsilon _{0}}$ 是电常数。

取散度于方程的两边，由于旋度的散度必是零，

${\displaystyle 0=\mu _{0}\nabla \cdot \mathbf {J} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}}$ 。

高斯定律的方程为

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}}$ 。

将这方程代入，可以得到

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0}$。

电流是电荷的流量。连续性方程可以这样论述：假若电荷从某微小体积元素移动出去（电流密度的散度是正值），则在那微小体积元素内的总电荷量会减少，电荷密度的变率是负值。从这解释可以察觉，连续性方程就是电荷守恒。

四维电流

四维电流密度定义为

${\displaystyle J^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (c\rho ,\mathbf {J} )=(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z})}$ ；

其中，${\displaystyle \alpha }$ 标记时空坐标，${\displaystyle c}$ 是光速。

电荷守恒可以简洁地由四维电流密度的散度表达，即连续性方程

${\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=0}$ ；

其中，${\displaystyle \partial _{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {\partial }{\partial r^{0}}},{\frac {\partial }{\partial r^{1}}},{\frac {\partial }{\partial r^{2}}},{\frac {\partial }{\partial r^{3}}}\right)=\left({\frac {\partial }{c\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$ 。

流体力学

在流体力学里，连续性方程表明，在任何稳定态过程中，质量进入物理系统的速率等于离开的速率。^[1][2]。此时连续性方程与电路学的基尔霍夫电流定律类似。“质量连续性方程”的微分形式为^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$；

其中，${\displaystyle \rho }$ 是流体质量密度，${\displaystyle \mathbf {u} }$ 是流速矢量场，两者相乘后为质量通量。

假设流体是不可压缩流，则密度 ${\displaystyle \rho }$ 是常数，质量连续性方程简化为体积连续性方程：^[1]

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {u} )=0}$ 。

这意味着，在所有位置，速度场的散度等于零；也就是说，局域的体积变率为零。

在另一方面，纳维-斯托克斯方程是一个矢量连续性方程，描述动量守恒。

能量

根据能量守恒，能量只能够传输，不能够生成或湮灭，这意味着“能量连续性方程”。这是在热力学定律（Laws of thermodynamics）外，能量守恒的另一种数学表述，即，

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0}$ ；

其中，${\displaystyle u}$ 是能量密度（单位体积的能量），${\displaystyle q}$ 是能量通量矢量（数值大小为单位截面面积每单位时间传输的能量，方向为截面的外法线方向）。

根据傅里叶定律（Fourier's law），对于均匀传导介质，

${\displaystyle \mathbf {q} =-k\nabla T}$ ；

其中，${\displaystyle k}$ 是热导率，${\displaystyle T}$ 是温度函数。

能量连续性方程又可写为热传导方程，

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-k\nabla ^{2}T=0}$ 。

量子力学

主条目：概率流

在量子力学里，从概率守恒可以得到“概率连续性方程”假设一个量子系统的波函数为 ${\displaystyle \Psi (x,t)}$ ，概率流 ${\displaystyle \mathbf {J} }$的定义为

${\displaystyle \mathbf {J} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi )}$ ；

其中，${\displaystyle \hbar }$ 是约化普朗克常数，${\displaystyle m}$ 是质量，${\displaystyle \Psi ^{*}}$ 是 ${\displaystyle \Psi }$ 是共轭复数，${\displaystyle {\mbox{Im}}()}$ 是取括弧内项目的虚部。

连续方程与概率守恒定律

概率流满足量子力学的连续方程：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}$ ；

其中，${\displaystyle \rho =|\Psi |^{2}}$ 是概率密度。

应用高斯公式，可以等价地以积分方程表示，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\mathrm {d} ^{3}{r}+\oint _{\mathbb {S} }\mathbf {J} \cdot {\mathrm {d} \mathbf {a} }=0}$ ；(1)

其中，${\displaystyle \mathbb {V} }$ 是任意三维区域，${\displaystyle \mathbb {S} }$ 是 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的边界曲面。

方程 (1) 左边第一个体积积分项（不包括对于时间的偏微分）是测量粒子位置时粒子在 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 内的概率。第二个曲面积分是概率流出 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的通量。总之，方程 (1) 表明，粒子在三维区域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 内的概率对于时间的微分，与其流出三维区域的概率 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 的通量，两者之和等于零。

连续方程推导

测得粒子在三维区域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 内的概率 ${\displaystyle P}$ 是

${\displaystyle P=\int _{\mathbb {V} }\rho \,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }$ 。

概率对于时间的导数是

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\mathbb {V} }|\Psi |^{2}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=\int _{\mathbb {V} }\left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ ；(2)

注意到 ${\displaystyle \Psi }$ 的含时薛定谔方程为

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi }$ ；

其中，${\displaystyle U(\mathbf {r} )}$ 是位势。

将含时薛定谔方程代入方程 (2) ，可以得到

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ 。

应用一则矢量恒等式，可以得到

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)={\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\boldsymbol {\nabla }}\Psi \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}-\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}}$ 。

这方程右手边第一项与第三项互相抵销，将抵销后的方程代入，

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} P}{\mathrm {d} t}}=-\int _{\mathbb {V} }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\boldsymbol {\nabla }}\Psi -\Psi {\boldsymbol {\nabla }}\Psi ^{*}\right)\right]\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ 。

将概率密度方程与概率流定义式代入，

${\displaystyle \int _{\mathbb {V} }{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,\mathrm {d} ^{3}{r}=-\int _{\mathbb {V} }\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} ^{3}{r}}$ 。

该等式对于任意三维区域 ${\displaystyle \mathbb {V} }$ 都成立，所以被积项目在任何位置都必须等于零：

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}$ 。

参阅

• 欧拉方程
• 诺特定理

参考文献

1. Pedlosky, Joseph. Geophysical fluid dynamics. Springer. 1987: 10–13. ISBN 9780387963877.
2. Clancy, L.J.(1975), Aerodynamics, Section 3.3, Pitman Publishing Limited, London