高斯散度定理

此条目的主题是微积分学中的一种向量分析。关于电磁学中与电通量有关的定理，请见“高斯定律”。

高斯公式（Gauss's law），又称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）^[1]、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中两大重要定理^[2]。

更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面围起来的体积上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出这区域的净流量。

高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。

在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于分部积分法。

定理

区域V，以带有法线n的面S = ∂V为边界。

散度定理可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面；散度定理不可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。

设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围起来的三维区域，函数${\displaystyle P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)}$在${\displaystyle \Omega }$上具有一阶连续偏导数，则有^[3]

${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \Sigma }$${\displaystyle P\,\mathrm {d} y\land \mathrm {d} z+Q\,\mathrm {d} z\land \mathrm {d} x+R\,\mathrm {d} x\land \mathrm {d} y}$

或

${\displaystyle \iiint _{\Omega }\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\mathrm {d} v=}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \Sigma }$${\displaystyle (P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )\,\mathrm {d} S}$

这里${\displaystyle \Sigma }$是${\displaystyle \Omega }$的边界（boundary），${\displaystyle \cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma }$是${\displaystyle \Sigma }$在点${\displaystyle (x,y,z)}$处的单位法向量的方向余弦。

这两个公式都叫做高斯公式，不过这两公式仅仅是表达方式不同，其实是相同的定理，这可以用变数变换得到两公式的右边都等于 ${\displaystyle \iint _{\Sigma }(P,Q,R)\cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}$，其中 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ 是曲面 ${\displaystyle \Sigma }$ 的向外单位法向量。

这个定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。

用散度表示

高斯公式用散度表示为：^[4]

${\displaystyle \iiint _{\Omega }\mathrm {div} \mathbf {F} \,\mathrm {d} v=}$${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle \Sigma }$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S.}$

其中Σ是空间闭区域Ω的边界曲面，而 ${\displaystyle \mathbf {n} }$ 是曲面Σ上的朝外的单位法向量。

用向量表示

令V代表有一简单闭曲面S为边界的体积，${\displaystyle \mathbf {F} }$是定义在V中和S上连续可微的向量场。如果${\displaystyle d\mathbf {S} }$是外法向向量面元，则

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \mathrm {d} V}$

推论

• 对于标量函数g和向量场F的积，应用高斯公式可得：

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right)\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}g\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

• 对于两个向量场${\displaystyle \mathbf {F} \times \mathbf {G} }$的向量积，应用高斯公式可得：

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right)\,\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}\left(\mathbf {F} \times \mathbf {G} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$

• 对于标量函数f和非零常向量的积，应用高斯公式可得：

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,\mathrm {d} V=\iint \limits _{\partial V}f\,\mathrm {d} \mathbf {S} }$

• 对于向量场F和非零常向量的向量积，应用高斯公式可得：

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \times \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\iint _{\partial V}\mathrm {d} \mathbf {S} \times \mathbf {F} .}$

例子

例子所对应的向量场。注意，向量可能指向球面的内侧或者外侧。

假设我们想要计算

${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S,}$

其中S是一个单位球面，定义为

${\displaystyle S=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}.}$

F是向量场

${\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}$

直接计算这个积分是相当困难的，但我们可以用高斯公式来把它简化：

${\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}(1+y+z)\,\mathrm {d} V=2\iiint _{W}\mathrm {d} V+2\iiint _{W}y\,\mathrm {d} V+2\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V.}$

其中W是单位球:

${\displaystyle W=\left\{x,y,z\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}$

由于函数y和z是奇函数，我们有：

${\displaystyle \iiint _{W}y\,\mathrm {d} V=\iiint _{W}z\,\mathrm {d} V=0.}$

因此：

${\displaystyle \oiint }$${\displaystyle \scriptstyle S}$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S=2\iiint _{W}\,\mathrm {d} V={\frac {8\pi }{3}},}$

因为单位球W的体积是4π/3.

二阶张量的高斯公式

二阶张量的高斯公式实际上是上面的高斯公式的推论。为了使内容完整，首先简要地介绍三维欧几里得空间上的二阶张量（详见并矢张量或张量积）以及相关的概念和记号。在这里，向量和向量场用黑斜体字母表示，张量用正黑体字母表示。

1. 两个向量${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$并排放在一起所形成的量${\displaystyle {\boldsymbol {ab}}}$被称为向量${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$的并矢或并矢张量。要注意，一般来说，${\displaystyle {\boldsymbol {ab}}\neq {\boldsymbol {ba}}}$。
2. ${\displaystyle {\boldsymbol {ab}}=0}$的充分必要条件是${\displaystyle {\boldsymbol {a}}=0}$或${\displaystyle {\boldsymbol {b}}=0}$。
3. 二阶张量就是有限个并矢的线性组合。
4. ${\displaystyle {\boldsymbol {ab}}}$分别线性地依赖于${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$。
5. 二阶张量${\displaystyle \mathbf {T} }$和向量${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$的缩并${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}}$以及${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} }$对 ${\displaystyle \mathbf {T} }$和${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$都是线性的。
6. 特别是，当${\displaystyle \mathbf {T} ={\boldsymbol {uv}}}$时，

${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}=({\boldsymbol {uv}})\cdot {\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {v}}\cdot {\boldsymbol {a}})\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} ={\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {uv}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {u}})\,{\boldsymbol {v}},}$

所以，一般说来，${\displaystyle \mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {a}}\neq {\boldsymbol {a}}\cdot \mathbf {T} }$。

下面举一个例子：用二阶张量及其与向量的缩并来重新写${\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})}$。

${\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\times {\boldsymbol {c}}=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {a}}=-({\boldsymbol {ab}}-{\boldsymbol {ba}})\cdot {\boldsymbol {c}}\,,\qquad {\boldsymbol {a}}\times ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})=({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {c}})\,{\boldsymbol {b}}-({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}})\,{\boldsymbol {c}}=-{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {bc}}-{\boldsymbol {cb}})\,.}$

我们还用到二阶张量${\displaystyle \mathbf {T} }$的转置${\displaystyle \mathbf {T} '}$（又可以记为${\displaystyle \mathbf {T} ^{\mathrm {t} }}$），定义如下：

1. ${\displaystyle \mathbf {T} '}$仍然是一个二阶张量，并且线性地依赖于${\displaystyle \mathbf {T} }$。
2. ${\displaystyle ({\boldsymbol {uv}})'={\boldsymbol {vu}}}$。

定理：设 ${\displaystyle V}$是三维欧几里得空间中的一个有限区域，${\displaystyle S}$是它的边界曲面，${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}$是${\displaystyle S}$的外法线方向上的单位向量，${\displaystyle \mathbf {T} }$是定义在${\displaystyle V}$的某个开邻域上的${\displaystyle C^{1}}$连续的二阶张量场，${\displaystyle \mathbf {T} '}$是${\displaystyle \mathbf {T} }$的转置，则

${\displaystyle \iint _{S}{\hat {\boldsymbol {n}}}\cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} \,\mathrm {d} V\,,\qquad \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.}$

证明：下面以第二个式子为例进行证明。令第二个式子的左边为${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$，则

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \iint _{S}\mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint _{S}{\boldsymbol {e}}_{i}\cdot \mathbf {T} \cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S=\iint _{S}T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j}\cdot {\hat {\boldsymbol {n}}}\,\mathrm {d} S\,.}$

接下来利用向量场的高斯公式，可得

${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}}=\iiint _{V}\nabla \cdot (T^{ij}{\boldsymbol {e}}_{j})\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V\,,}$

于是

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {e}}_{i}\,({\boldsymbol {e}}_{i}\cdot {\boldsymbol {F}})={\boldsymbol {e}}_{i}\iiint _{V}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}{\boldsymbol {e}}_{i}{\frac {\partial T^{ij}}{\partial x^{j}}}\,\mathrm {d} V=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {T} '\,\mathrm {d} V\,.}$

至此证毕。

参阅

• 格林定理
• 斯托克斯定理

参考文献

1. UPSC Combined Geo-Scientist And Geologist exam 2020: Check application process, exam dates, syllabus, paper pattern, other details （页面存档备份，存于互联网档案馆）.The Indian Express.September 22, 2019.
2. 提要251：第一个重要的矢量定理--散度定理(Divergence Theorem) （页面存档备份，存于互联网档案馆）.中华大学.2011-12-22.
3. 同济大学数学系 编. 高等数学(第六版)(下册). 北京: 高等教育出版社, 2007
4. 谢树艺编. 高等学校教材•工程数学:向量分析与场论(第3版). 北京: 高等教育出版社, 2005