莱布尼茨三角形

莱布尼茨三角形是一种将分数以等腰三角形排列的一种排列方式，三角形二侧最外层的数字是其行编号的倒数，其中间的数字是其左侧数字和左上方数字差的绝对值。若用代数方式表示：

L(r, 1) = 1/r（r为行编号，最小编号为1）

L(r, c) = |L(r − 1, c − 1) − L(r, c − 1)|（c为为列编号，不会大于r）

莱布尼茨三角形是数学家戈特弗里德·莱布尼茨在1714年提出^[1]。莱布尼茨三角形的前几列为：

${\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}}$

莱布尼茨三角形的分母列在（OEIS数列A003506）中，其分子均为1。

在杨辉三角形中，每一项都是其左上方和右上方数字的和．而在莱布尼茨三角形中，每一项都是其左下方和右下方数字的和，例如在第五行中的1/30是第六行二个1/60的和。

杨辉三角形可以用二项式系数来计算，而莱布尼茨三角形也可以用二项式系数来计算：${\displaystyle L(r,c)={\frac {1}{r\times {r-1 \choose c-1}}}}$。而且可以用杨辉三角形中的项次来计算莱布尼茨三角形：“每一行的各项是第一项除以杨辉三角形中对应项次的结果”^[2]。

若将莱布尼茨三角形中第n行的所有分母相加，其结果会是${\displaystyle n2^{n-1}}$。例如第3行的分母和为3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 2²。

特别是的莱布尼茨三角形中的各项可以用以下的积分式表示：

${\displaystyle L(r,c)=\int _{0}^{1}\!x^{c-1}(1-x)^{r-c}\,dx\,.}$

相关条目

• 杨辉三角形

参考资料

1. Crilly, Tony. 50 Mathematical Ideas you really need to know. London: Quercus. 2007: 53. ISBN 978-1-84724-008-8.
2. Wells, David (1986). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, p.98. ISBN 978-0-14-026149-3.