欧拉-马斯刻若尼常数

欧拉-马斯刻若尼常数是一个数学常数，定义为调和级数与自然对数的差值：

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln(n)\right]=\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}$

提示：此条目的主题不是尤拉数。

欧拉-马斯刻若尼常数

欧拉-马斯刻若尼常数
蓝色区域的面积收敛到欧拉常数
识别
符号	${\displaystyle \gamma }$
位数数列编号	A001620
性质
定义	${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln(n)\right]}$ ${\displaystyle \gamma =\int _{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}$
连分数	[0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...]
表示方式
值	${\displaystyle \gamma \approx }$0.57721566490153...
无穷级数	${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}$
二进制	0.100100111100010001100111…
十进制	0.577215664901532860606512…
十六进制	0.93C467E37DB0C7A4D1BE3F81…
查 论 编

它的近似值为${\displaystyle \gamma \approx 0.577215664901532860606512090082402431042159335}$^[1]，

欧拉-马斯刻若尼常数主要应用于数论。

历史

该常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定义。欧拉曾经使用${\displaystyle C}$作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家洛伦佐·马斯凯罗尼引入了${\displaystyle \gamma }$作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。

目前尚不知道该常数是否为有理数，但是分析表明如果它是一个有理数，那么它的分母位数将超过10²⁴²⁰⁸⁰。^[2] 对此，数学家田士弘表示，已知调和级数是发散的，lnx当x不等于1和e^r时是超越数，由此可证欧拉-马斯刻若尼常数是超越数。

性质

与伽玛函数的关系

${\displaystyle \ -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1)}$。

${\displaystyle \gamma =\lim _{x\to \infty }\left[x-\Gamma \left({\frac {1}{x}}\right)\right]}$。

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right]}$。

与ζ函数的关系

${\displaystyle \gamma =\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\zeta (m)}{m}}}$

${\displaystyle =\ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}\zeta (m+1)}{2^{m}(m+1)}}}$。

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}=\gamma }$

${\displaystyle \gamma ={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum _{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum _{k=2}^{n}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}}\right)\right]}$。

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum _{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O\left({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}}\right)\right]}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{s\to 1^{+}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}}\right)=\lim _{s\to 1^{+}}\left(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}}\right)}$

${\displaystyle \gamma =\lim _{x\to \infty }\left[x-\Gamma \left({\frac {1}{x}}\right)\right]}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{k=1}^{n}\left(\left\lceil {\frac {n}{k}}\right\rceil -{\frac {n}{k}}\right)}$。

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)-\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}}$

积分

${\displaystyle \gamma =-\int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln x}\,dx=\int _{\infty }^{0}{e^{-x}\ln x}\,dx}$^{[证明 1]}${\displaystyle =-\int _{0}^{1}{\ln \ln {\frac {1}{x}}}\,dx}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{\left({\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}}\right)e^{-x}}\,dx}$

${\displaystyle =\int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}\left({\frac {1}{1+x}}-e^{-x}\right)}\,dx}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}}$。

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {N_{1}(n)+N_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\gamma }$

级数展开式

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right]}$

${\displaystyle \gamma =1-\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\lfloor \log _{2}k\rfloor }{k+1}}}$.

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log _{2}k\right\rfloor }{k}}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}+2\left({\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{7}}\right)+3\left({\tfrac {1}{8}}-\dots -{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }$

${\displaystyle \gamma +\zeta (2)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}\left({\tfrac {1}{4}}+\dots +{\tfrac {1}{8}}\right)+{\tfrac {1}{9}}\left({\tfrac {1}{9}}+\dots +{\tfrac {1}{15}}\right)+\dots }$

${\displaystyle \gamma =\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k^{2}\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {2}{3^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}\left({\tfrac {1}{5^{2}}}+{\tfrac {2}{6^{2}}}+{\tfrac {3}{7^{2}}}+{\tfrac {4}{8^{2}}}\right)+{\tfrac {1}{3^{2}}}\left({\tfrac {1}{10^{2}}}+\dots +{\tfrac {6}{15^{2}}}\right)+\dots }$

${\displaystyle \gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum _{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx}$

${\displaystyle \gamma }$的连分数展开式为：

${\displaystyle \gamma =[0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,1,8,1,2,4,1,1,40,...]\,}$ （OEIS数列A002852）.

渐近展开式

${\displaystyle \gamma \approx H_{n}-\ln \left(n\right)-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+...}$

${\displaystyle \gamma \approx H_{n}-\ln \left({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{3}}}+...}\right)}$

${\displaystyle \gamma \approx H_{n}-{\frac {\ln \left(n\right)+\ln \left({n+1}\right)}{2}}-{\frac {1}{6n\left({n+1}\right)}}+{\frac {1}{30n^{2}\left({n+1}\right)^{2}}}-...}$

已知位数

${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }}}$的已知位数

日期	位数	计算者
1734年	5	莱昂哈德·欧拉
1736年	15	莱昂哈德·欧拉
1790年	19	洛伦佐·马斯凯罗尼
1809年	24	Johann G. von Soldner
1812年	40	F.B.G. Nicolai
1861年	41	Oettinger
1869年	59	William Shanks
1871年	110	William Shanks
1878年	263	约翰·柯西·亚当斯
1962年	1,271	高德纳
1962年	3,566	D.W. Sweeney
1977年	20,700	Richard P. Brent
1980年	30,100	Richard P. Brent和埃德温·麦克米伦
1993年	172,000	Jonathan Borwein
1997年	1,000,000	Thomas Papanikolaou
1998年12月	7,286,255	Xavier Gourdon
1999年10月	108,000,000	Xavier Gourdon和Patrick Demichel
2006年7月16日	2,000,000,000	Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2006年12月8日	116,580,041	Alexander J. Yee
2007年7月15日	5,000,000,000	Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2008年1月1日	1,001,262,777	Richard B. Kreckel
2008年1月3日	131,151,000	Nicholas D. Farrer
2008年6月30日	10,000,000,000	Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2009年1月18日	14,922,244,771	Alexander J. Yee和Raymond Chan
2009年3月13日	29,844,489,545	Alexander J. Yee和Raymond Chan
2013年	119,377,958,182	Alexander J. Yee
2016年	160,000,000,000	Peter Trueb
2016年	250,000,000,000	Ron Watkins
2017年	477,511,832,674	Ron Watkins
2020年	600,000,000,100	Seungmin Kim和Ian Cutress
2025年	600,000,000,101	田士弘