四维矢量

在相对论里，四维矢量（four-vector）是实值四维矢量空间里的矢量。这四维矢量空间称为闵可夫斯基时空。四维矢量的分量分别为在某个时间点与三维空间点的四个数量。在闵可夫斯基时空内的任何一点，都代表一个“事件”，可以用四维矢量表示。从任意惯性参考系观察某事件所获得的四维矢量，通过洛伦兹变换，可以变换为从其它惯性参考系观察该事件所获得的四维矢量。

本条目中，矢量与标量分别用粗体与斜体显示。例如，位置矢量通常用 ${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 表示；而其大小则用 ${\displaystyle r\,\!}$ 来表示。四维矢量用加有标号的斜体显示。例如，${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$或${\displaystyle {x}_{\mu }\,\!}$。为了避免歧意，四维矢量的斜体与标号之间不会有括号。例如，${\displaystyle (x)^{2}\,\!}$表示${\displaystyle x\,\!}$平方；而${\displaystyle {x}^{2}\,\!}$是${\displaystyle {x}^{\mu }\,\!}$的第二个分量。

本文章只思考在狭义相对论范围内的四维矢量，尽管四维矢量的概念延伸至广义相对论。在本文章内写出的一些结果，必须加以修改，才能在广义相对论范围内成立。

数学性质

在闵可夫斯基时空里，不同惯性参考系的坐标轴

在闵可夫斯基时空内的任何一点，都可以用四维矢量（一组标准基底的四个坐标） ${\displaystyle {x}^{\mu }=({x}^{0},\,{x}^{1},\,{x}^{2},\,{x}^{3})}$ 来表示；其中，上标 ${\displaystyle \mu =0,\,1,\,2,\,3}$ 标记时空的维数次序。称这四维矢量为“坐标四维矢量”，又称“四维坐标”，定义为

${\displaystyle {x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (ct,\,x,\,y,\,z)}$ ；

其中，${\displaystyle c}$ 是光速，${\displaystyle t}$ 是时间，${\displaystyle (x,\,y,\,z)}$ 是位置的三维直角坐标。

为了确使每一个坐标的单位都是长度单位，定义 ${\displaystyle {x}^{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ ct}$ 。

“四维位移”定义为两个事件之间的矢量差。在时空图里，四维位移可以用从第一个事件指到第二个事件的箭矢来表示。当矢量的尾部是坐标系的原点时，位移就是位置。四维位移 ${\displaystyle \Delta {x}^{\mu }}$ 表示为

${\displaystyle \Delta {x}^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\Delta ct,\ \Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)}$ 。

带有上标的四维矢量 ${\displaystyle {U}^{\mu }}$ 称为反变矢量，其分量标记为

${\displaystyle {U}^{\mu }=\ ({U}^{0},\,{U}^{1},\,{U}^{2},\,{U}^{3})}$ 。

假若，标号是下标，则称四维矢量 ${\displaystyle {U}_{\mu }}$ 为协变矢量。其分量标记为

${\displaystyle {U}_{\mu }=\ ({U}_{0},\,{U}_{1},\,{U}_{2},\,{U}_{3})=\ ({U}^{0},\,-{U}^{1},\,-{U}^{2},\,-{U}^{3})}$ 。

在这里，闵可夫斯基度规 ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ 被设定为

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)}$ 。

采用爱因斯坦求和约定，则四维矢量的协变坐标和反变坐标之间的关系为

${\displaystyle U_{\mu }=\eta _{\mu \nu }U^{\nu }}$ 。

闵可夫斯基度规与它的“共轭度规张量” ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ 相等：

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)}$ 。

洛伦兹变换

主条目：洛伦兹变换

给予两个惯性参考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$、 ${\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}}$ ；相对于参考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$，参考系 ${\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}}$ 以速度 ${\displaystyle \mathbf {v} =v{\hat {\mathbf {x} }}}$ 移动。对于这两个参考系，相关的“洛伦兹变换矩阵” ${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }}$ 是

${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$；

其中，${\displaystyle \gamma ={\cfrac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}}$ 是洛伦兹因子，${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$是“贝塔因子”。

对于这两个参考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$、 ${\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}}$ ，假设一个事件的四维坐标分别为 ${\displaystyle {x}^{\mu }}$、 ${\displaystyle {\bar {x}}^{\mu }}$ 。那么，这两个四维坐标之间的关系为

${\displaystyle {\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }}$ 、

${\displaystyle x^{\mu }={\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {x}}^{\nu }}$ ；

其中，${\displaystyle {\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }}$ 是 ${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }}$ 的反矩阵，

${\displaystyle {\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\ \left({\begin{matrix}\gamma &\gamma \beta &0&0\\\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$ 。

将这两个四维坐标之间的关系式合并为一，则可得到

${\displaystyle {\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ x^{\nu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda }}^{\nu }{}_{\xi }\ {\bar {x}}^{\xi }}$ 。

因此，可以找到洛伦兹变换矩阵的一个特性：

${\displaystyle \Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {\Lambda }}^{\nu }{}_{\xi }=\delta ^{\mu }{}_{\xi }}$ ；

其中，${\displaystyle \delta ^{\mu }{}_{\xi }}$ 是克罗内克函数。

另外一个很有用的特性为

${\displaystyle {\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }=\eta _{\alpha \nu }\ \eta ^{\beta \mu }\ \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }}$ ；

给定一个事件在某惯性参考系的四维坐标，通过洛伦兹变换，就可计算出这事件在另外一个惯性参考系的四维坐标。这是个很有用的物理性质。当研究物理现象时，所涉及的四维矢量，最好都能够具有这有用的性质。这样，可以使得数学分析更加精致犀利。以方程表示，对于两个参考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$、 ${\displaystyle {\bar {\mathcal {S}}}}$，具有这种有用性质的四维矢量 ${\displaystyle {U}^{\mu }}$ 、${\displaystyle {\bar {U}}^{\mu }}$ 满足

${\displaystyle {\bar {U}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }\ U^{\nu }}$ 、

${\displaystyle U^{\mu }={\bar {\Lambda }}^{\mu }{}_{\nu }\ {\bar {U}}^{\nu }}$ 。

在计算这四维矢量对于时间的导数时，若能选择固有时为时间变数，则求得的四维矢量仍旧具有这有用的性质。因为，固有时乃是个不变量；改变惯性参考系不会改变不变量。

假设一个物体运动于闵可夫斯基时空。在“实验室参考系”里，物体运动的速度随着时间改变。对于每瞬时刻，选择与物体同样运动的惯性参考系，称为“瞬间共动参考系”（momentarily comoving reference frame）。在这瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，这参考系也是物体的“瞬间静止参考系”。随着物体不断地改变运动速度与方向，新的惯性参考系也会不断地改换为瞬间共动参考系。^[1]:41-42随着这些不断改换的瞬间同行坐标系所测得的时间即为固有时，标记为 ${\displaystyle \tau }$ 。这就好像给物体挂戴一只手表，随着物体的运动，手表也会做同样的运动，而手表所纪录的时间就是固有时。

这物体的运动可以用一条世界线 ${\displaystyle x(\tau )}$ 来描述。由于时间膨胀，发生于物体的两个本地事件的微小固有时间隔 ${\displaystyle \Delta \tau }$ 与从别的惯性参考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 所观测到的微小时间间隔 ${\displaystyle \Delta t}$ 的关系为

${\displaystyle \Delta t=\gamma \Delta \tau }$ 。

所以，固有时 ${\displaystyle \tau }$ 对于其它时间 ${\displaystyle t}$ 的导数为

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\gamma }}}$ 。

闵可夫斯基内积

在闵可夫斯基空间里，两个四维矢量 ${\displaystyle U^{\mu }}$ 与 ${\displaystyle V_{\mu }}$ 的内积，称为闵可夫斯基内积，以方程表示为：

${\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ U^{0}V^{0}-U^{1}V^{1}-U^{2}V^{2}-U^{3}V^{3}}$ 。

由于这内积并不具正定性，即

${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=(U^{0})^{2}-(U^{1})^{2}-(U^{2})^{2}-(U^{3})^{2}}$

可能会是负数；而欧几里得内积一定不是负数。

许多学者喜欢使用相反正负号的 ${\displaystyle \eta }$：

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)}$ 。

这样，${\displaystyle U^{\mu }}$ 与 ${\displaystyle V_{\mu }}$ 的内积改变为

${\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }=-U^{0}V^{0}+U^{1}V^{1}+U^{2}V^{2}+U^{3}V^{3}}$ 。

其它相联的量值也会因而改变正负号，但这不会改变系统的物理性质。

从参考系 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ 改换至另一参考系 ${\displaystyle {\overline {\mathcal {S}}}}$ ，${\displaystyle U^{\mu }}$ 与 ${\displaystyle V_{\mu }}$ 的内积为

${\displaystyle {U}^{\mu }{V}_{\mu }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }{V}^{\beta }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda }}^{\beta }{}_{\xi }\ {\overline {V}}^{\xi }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ \eta _{\mu \beta }\ {\overline {\Lambda }}^{\beta }{}_{\xi }\ \eta ^{\xi \zeta }\ {\overline {V}}_{\zeta }={\overline {\Lambda }}^{\mu }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ {\overline {\Lambda }}^{\zeta }{}_{\mu }\ {\overline {V}}_{\zeta }=\delta ^{\zeta }{}_{\alpha }\ {\overline {U}}^{\alpha }\ {\overline {V}}_{\zeta }={\overline {U}}^{\alpha }{\overline {V}}_{\alpha }}$ 。

所以，在闵可夫斯基时空内，两个四维矢量的内积是个不变量：^[1]:44-46

${\displaystyle U^{\mu }V_{\mu }={\overline {U}}^{\mu }{\overline {V}}_{\mu }}$ 。

四维矢量可以分类为类时，类空，或类光（零矢量）：

类时矢量：${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }>0}$ ，

类空矢量：${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }<0}$ ，

类光矢量：${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=0}$ 。

动力学实例

四维速度

主条目：四维速度

设想一个物体运动于闵可夫斯基时空，则其世界线的任意事件 ${\displaystyle x^{\mu }(\tau )}$ 的四维速度 ${\displaystyle U^{\mu }}$ 定义为^[1]:46-48

${\displaystyle U^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\ {\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} t}}=\left(\gamma c,\ \gamma \mathbf {u} \right)}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {u} =\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}},\,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)}$ 是三维速度，或经典速度矢量。

${\displaystyle U^{\mu }}$ 的空间部分与经典速度 ${\displaystyle \mathbf {u} }$ 的关系为

${\displaystyle \left(U^{1},\,U^{2},\,U^{3}\right)=\gamma \mathbf {u} }$ 。

四维速度与自己的内积等于光速平方，是一个不变量：

${\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=c^{2}}$ 。

在物体的瞬间共动参考系里，物体的速度为零，因此，四维速度为

${\displaystyle \left(c,0,0,0\right)_{MCRF}}$ ，

其方向与瞬间共动参考系的第零个基底矢量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{0}=\left(1,0,0,0\right)_{MCRF}}$ 同向；

其中，${\displaystyle MCRF}$ 表示从瞬间共动参考系观察得到的数据。

四维加速度

主条目：四维加速度

四维加速度 ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$ 定义为 ^[1]:46-48

${\displaystyle \alpha ^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} U^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=\left(\gamma {\dot {\gamma }}c,\,\gamma {\dot {\gamma }}\mathbf {u} +\gamma ^{2}{\dot {\mathbf {u} }}\right)}$ 。

经过一番运算，可以得到洛伦兹因子对于时间的导数：

${\displaystyle {\dot {\gamma }}={\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}=\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c^{2}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {u} }{\mathrm {d} t}}}$ 是经典加速度。

所以，四维加速度 ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$ 可以表示为

${\displaystyle \alpha ^{\mu }=\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)}$ 。

由于 ${\displaystyle U_{\mu }U^{\mu }}$ 是个常数，四维加速度与四维速度相互正交；也就是说，四维速度与四维加速度的闵可夫斯基内积等于零：

${\displaystyle \alpha _{\mu }U^{\mu }={\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} (U_{\mu }U^{\mu })}{\mathrm {d} \tau }}=0}$ 。

对于每一条世界线，这计算结果都成立。

注意到在瞬间共动参考系里， ${\displaystyle U_{\mu }}$ 只有时间分量不等于零，所以， ${\displaystyle \alpha ^{\mu }}$ 为的时间分量为零：

${\displaystyle \alpha ^{\mu }=\left(0,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} \right)_{MCRF}}$ 。

四维动量

主条目：四维动量

一个静止质量为 ${\displaystyle m}$ 的粒子的四维动量 ${\displaystyle P^{\mu }}$ 定义为

${\displaystyle P^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ mU^{\mu }=\left(\gamma mc,\,\gamma m\mathbf {u} \right)}$ 。

经典动量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ 定义为

${\displaystyle \mathbf {p} \ {\stackrel {def}{=}}\ m_{rel}\mathbf {u} =\gamma m\mathbf {u} }$ ；

其中，${\displaystyle m_{rel}}$ 是相对论性质量。

所以，${\displaystyle P^{\mu }}$ 的空间部分等于经典动量 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ：

${\displaystyle \left(P^{1},\,P^{2},\,P^{3}\right)=\mathbf {p} }$。

四维力

主条目：四维力

作用于粒子的四维力定义为粒子的四维动量对于固有时的导数：

${\displaystyle F^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} P^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}}$。

提出四维动量内的静止质量因子，即可发觉四维力就是静止质量乘以四维加速度：

${\displaystyle F^{\mu }=m{\frac {\mathrm {d} U^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}=m\alpha ^{\mu }}$ 。

因此，四维力可以表示为

${\displaystyle F^{\mu }=m\left(\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )/c,\,\gamma ^{2}\mathbf {a} +\gamma ^{4}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {u} /c^{2}\right)}$ 。

经典力 ${\displaystyle \mathbf {f} }$ 定义为

${\displaystyle \mathbf {f} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$ 。

所以，${\displaystyle F^{\mu }}$的空间部分等于 ${\displaystyle \gamma \mathbf {f} }$ ：

${\displaystyle \left(F^{1},\,F^{2},\,F^{3}\right)=\gamma \mathbf {f} }$ 。

物理内涵

在四维矢量的表述里，存在着许多能量与物质之间的关系。从这些特别关系，可以显示出这表述的功能与精致。

质能方程

假设，在微小时间间隔 ${\displaystyle \mathrm {d} t}$ ，一个运动于时空的粒子，感受到作用力 ${\displaystyle \mathbf {f} }$ 的施加，而这粒子的微小位移为 ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} }$ 。那么，作用力 ${\displaystyle \mathbf {f} }$ 对于这粒子所做的微小机械功 ${\displaystyle \mathrm {d} W}$ 为

${\displaystyle \mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} }$ 。

因此，这粒子的动能的改变 ${\displaystyle \mathrm {d} K}$ 为

${\displaystyle \mathrm {d} K=\mathrm {d} W=\mathbf {f} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} }$ 。

粒子的动能 ${\displaystyle K}$ 对于时间的导数为

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ 。

将前面经典力和经典速度的公式带入，可以得到

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} K}{\mathrm {d} t}}=m\gamma ^{3}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} )=mc^{2}{\frac {\mathrm {d} \gamma }{\mathrm {d} t}}}$ 。

这公式的反微分为

${\displaystyle K=\gamma mc^{2}+K_{0}}$ 。

当粒子静止时，动能等于零。所以，

${\displaystyle K=\gamma mc^{2}-mc^{2}}$ 。

这公式的右手边第二个项目就是静止能量 ${\displaystyle E_{0}\ {\stackrel {def}{=}}\ mc^{2}}$ 。动能 ${\displaystyle K}$ 加上静止能量 ${\displaystyle E_{0}}$ 等于总能量 ${\displaystyle E}$ ：

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$ 。

再加简化，以相对论性质量 ${\displaystyle m_{rel}}$ 表示：

${\displaystyle E=m_{rel}c^{2}}$ 。

这方程称为质能方程。

能量-动量关系式

使用质能方程 ${\displaystyle E=m_{rel}c^{2}=\gamma mc^{2}}$ ，四维动量可以表示为

${\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},\,\mathbf {p} \right)}$ 。

四维动量与自己的内积为

${\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-(p)^{2}}$ 。

改以四维速度来计算内积：

${\displaystyle P^{\mu }P_{\mu }=m^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m^{2}c^{2}}$ 。

所以，能量-动量关系式为

${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+m^{2}c^{4}}$ 。

电磁学实例

四维电流密度

主条目：四维电流密度

在电磁学里，四维电流密度 ${\displaystyle J^{\mu }}$ 是一个四维矢量，定义为

${\displaystyle J^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\rho c,\,\mathbf {j} )}$ ；

其中，${\displaystyle \rho }$ 是电荷密度，${\displaystyle \mathbf {j} }$ 是三维电流密度。

在瞬间共动参考系所观测到的电荷密度，称为固有电荷密度 ${\displaystyle \rho _{0}=\rho /\gamma }$ 。四维电流密度与四维速度的关系为

${\displaystyle J^{\mu }=\rho _{0}U^{\mu }}$ 。

电荷守恒定律能以三维矢量表示为

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0}$ 。

这定律也能以四维电流密度表示为

${\displaystyle {\frac {\partial J^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0}$ 。

从这方程，可以推论四维电流密度的四维散度等于零。

电磁四维势

主条目：电磁四维势

电磁四维势是由电势 ${\displaystyle \phi \,}$ 与矢量势 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ 共同形成的，定义为

${\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )}$ 。

黎曼-索末菲方程表示电磁四维势与四维电流密度之间的关系^[2]：

${\displaystyle \Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }}$ ;

其中，${\displaystyle \mu _{0}}$ 是磁常数，${\displaystyle \Box =\partial ^{2}=\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }=\left({\frac {1}{c^{2}}}\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\right)}$ 是达朗贝尔算符，又称为四维拉普拉斯算符。

四维频率和四维波矢量

一个平面电磁波的四维频率 ${\displaystyle {\nu }^{\mu }}$ 定义为

${\displaystyle {\nu }^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ (f,\,f\mathbf {n} )}$ ；

其中，${\displaystyle f}$ 是电磁波的频率，${\displaystyle \mathbf {n} }$ 是朝着电磁波传播方向的单位矢量。

四维频率与自己的内积永远等于零：

${\displaystyle {\nu }^{\alpha }{\nu }_{\alpha }=(f)^{2}(1-n^{2})=0}$ 。

一个近单色光的波包的波动性质可以用四维波矢量 ${\displaystyle {K}^{\alpha }}$ 来描述：

${\displaystyle {K}^{\alpha }\ {\stackrel {def}{=}}\ \left({\frac {2\pi f}{c}},\,\mathbf {k} \right)}$ 。

其中，${\displaystyle \mathbf {k} }$ 是三维波矢量。

四维波矢量与四维频率之间的关系为

${\displaystyle {K}^{\alpha }={\frac {2\pi {\nu }^{\alpha }}{c}}}$ 。

参阅

• 洛仑兹协变性

参考文献

1. Bernard Schutz. A First Course in General Relativity. Cambridge University Press. 14 May 2009. ISBN 978-0-521-88705-2.
2. Carver A. Mead. Collective Electrodynamics: Quantum Foundations of Electromagnetism. MIT Press. 2002: 37–38. ISBN 9780262632607.

• Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 477–543. ISBN 0-13-805326-X. 引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edition). Clarendon Press Oxford. 1991. ISBN 0-19-853952-5.