四维力

四维力（英语：four-force）是古典力学中的力物理量在相对论中对应的四维版本。

狭义相对论的定义

设有一不变质量为m的粒子（m > 0），其四维动量${\displaystyle \mathbf {P} }$为

${\displaystyle \mathbf {P} =m\mathbf {U} }$。

其中四维速度${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,\mathbf {u} )}$；c为光速，${\displaystyle \mathbf {u} }$乃是寻常概念中的三维空间速度。

而四维力${\displaystyle \mathbf {F} }$的定义则为四维动量对粒子原时的微分：

${\displaystyle \mathbf {F} \equiv {d\mathbf {P} \over d\tau }}$。

将牛顿第二定律扩充，我们可以将四维力与四维加速度${\displaystyle \mathbf {A} }$作关联：

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {A} =\left(\gamma {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} \over c},\gamma {\mathbf {f} }\right)}$.

在这里可得如下关系式：

${\displaystyle {\mathbf {f} }={d \over dt}\left(\gamma m{\mathbf {u} }\right)={d\mathbf {p} \over dt}}$

以及

${\displaystyle {\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }={d \over dt}\left(\gamma mc^{2}\right)={dE \over dt}}$。

上述${\displaystyle \mathbf {u} }$、${\displaystyle \mathbf {p} }$与${\displaystyle \mathbf {f} }$为三维向量，分别描述粒子的速度、动量与作用力。

广义相对论的调整

在广义相对论中，四维力与四维加速度的关系式不变，然而四维力与四维动量的关系则需从对原时的一般导数改成协变导数：

${\displaystyle F^{\lambda }:={\frac {DP^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dP^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }P^{\nu }}$

此外，我们亦可透过座标转换的观念来推导不同座标系之间的力。设有一座标系而粒子在此座标系中暂时静止，假设我们知道的力的正确表示式，则我们可以透过座标转换得到另一个座标系中的力的表示式。^[1]在狭义相对论中，这个座标变换是劳仑兹变换；在广义相对论中，则是广义座标变换。

考虑四维力${\displaystyle F^{\mu }=(F^{0},{\textbf {F}})}$作用在一质量为${\displaystyle m}$的粒子，此粒子在一座标系统中暂时静止。

相对论中的力${\displaystyle f^{\mu }}$在另个以固定相对速度${\displaystyle v}$的座标系中遵守劳仑兹变换： ${\displaystyle {\mathbf {f} }={\mathbf {F} }+(\gamma -1){\mathbf {v} }{{\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {F} } \over v^{2}}}$，

而

${\displaystyle f^{0}=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {F} ={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {f} }$，

其中${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\mathbf {v} /c}$为速度除以光速。

广义相对论中，四维力表示式变成：

${\displaystyle f^{\mu }=m{DU^{\mu } \over d\tau }}$

其中${\displaystyle D/d\tau }$为协变导数。运动方程式变成： ${\displaystyle m{d^{2}x^{\mu } \over d\tau ^{2}}=f^{\mu }-m\Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }{dx^{\nu } \over d\tau }{dx^{\lambda } \over d\tau }}$，

其中${\displaystyle \Gamma _{\nu \lambda }^{\mu }}$为克里斯多福符号。若无外加力，则变成弯曲时空中的测地线方程式。上式中的第二项所扮演的角色是重力场所造成的“力”。

若${\displaystyle f_{f}^{\alpha }}$是自由落体参考系${\displaystyle \xi ^{\alpha }}$之中力的正确表示式，我们可以使用等效原理来描写任意座标系${\displaystyle x^{\mu }}$之中的四维力：

${\displaystyle f^{\mu }={\partial x^{\mu } \over \partial \xi ^{\alpha }}f_{f}^{\alpha }.}$

案例

狭义相对论中，四维劳仑兹力（电磁场对带电粒子作用的四维力）可以表示为：

${\displaystyle F_{\mu }=qF_{\mu \nu }U^{\nu }}$，

其中

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$为电磁张量，
• ${\displaystyle q}$为电荷。
• ${\displaystyle U^{\nu }}$为四维速度，

相关条目

• 四维向量
• 四维速度
• 四维加速度
• 四维动量

参考文献

1. Steven, Weinberg. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley & Sons, Inc. 1972. ISBN 0-471-92567-5.

延伸阅读

• Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity 2nd. Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853953-3.