双曲复数

双曲复数（英语：hyperbolic numbers或Split-complex number），是异于复数而对实数所做的推广。

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

素数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

双曲复数乘法表

×	1	j
1	1	j
j	j	1

定义

考虑数${\displaystyle z=x+jy}$，其中${\displaystyle x,y}$是实数，而量${\displaystyle j}$不是实数，但${\displaystyle j^{2}}$是实数。

选取${\displaystyle j^{2}=-1}$，得到一般复数。取${\displaystyle +1}$的话，便得到双曲复数。

定义双曲复数的加法和乘法如下，使之符合交换律、结合律和分配律：

${\displaystyle (x+jy)+(u+jv)=(x+u)+j(y+v)}$

${\displaystyle (x+jy)(u+jv)=(x+jy)(u)+(x+jy)(jv)=xu+jyu+jxv+j^{2}yv=(xu+yv)+j(xv+yu)}$

共轭、范数

对于${\displaystyle z=x+jy}$，其共轭值${\displaystyle z^{*}=x-jy}$。对于任何双曲复数${\displaystyle z,w}$，

${\displaystyle (z+w)^{*}=z^{*}+w^{*}}$

${\displaystyle (zw)^{*}=z^{*}w^{*}}$

${\displaystyle (z^{*})^{*}=z}$

可见它是自同构的。

定义内积为 ${\displaystyle \langle z,w\rangle =Re(zw^{*})=Re(zw^{*})=xu-yv}$ 。若${\displaystyle \langle z,w\rangle =0}$ ，说${\displaystyle z,w}$（双曲）正交。

双曲复数的平方范数就取自己和自己的内积，即自身和其共轭值之乘积（闵可夫斯基范数）：

${\displaystyle \lVert z\rVert =\langle z,z\rangle =zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}}$。

这个范数非正定，其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不变：${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert }$。

除法

除了0之外，也不是每个双曲复数都有乘法逆元。

${\displaystyle z^{-1}={\frac {1}{z}}={\frac {z^{*}}{zz^{*}}}={\frac {z^{*}}{\lVert z\lVert }}}$

由此可见，双曲复数可逆当且仅当其平方范数非零。其形式均为${\displaystyle k(1\pm j)}$，其中${\displaystyle k}$是实数。

基

双曲复数的幂等元有：

列方程${\displaystyle (x+jy)^{2}=(x^{2}+y^{2})+2xyj}$。有四个解：${\displaystyle 1,0,s=(1-j)/2,s^{*}=(1+j)/2}$。

s和s^*都是不可逆的。它们可以作双曲复数的基。${\displaystyle z=x+jy=(x-y)s+(x+y)s^{*}}$ 。

若将${\displaystyle z=ae+be^{*}}$表示成${\displaystyle (a,b)}$，双曲复数的乘法可表示成${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac,bd)}$ 。因此，在这个基里，双曲复数的加法和乘法和直和R⊕R同构。

共轭可表示为${\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)}$，范数${\displaystyle \lVert (a,b)\rVert =ab}$。

几何

有闵可夫斯基内积的二维实向量空间称为1+1闵可夫斯基空间，表示为R^1,1。正如欧几里得平面R²的几何学可以复数表示，闵可夫斯基空间的几何学可以双曲复数表示。

在R，对于非零的${\displaystyle a}$，点集 ${\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =a^{2}\}}$ 是双曲线。左边和右边的会经过${\displaystyle a}$和${\displaystyle -a}$。${\displaystyle a=1}$称为单位双曲线。

共轭双曲线是${\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =-a^{2}\}}$ ，会分别经过${\displaystyle ja}$和${\displaystyle -ja}$。双曲线和共轭双曲线会被成直角的两条渐近线 ${\displaystyle \{z:\lVert z\lVert =0\}}$ 分开。

欧拉公式的相应版本是${\displaystyle e^{j\theta }=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta )}$。

历史

1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金顿·克利福德以双曲复数表示自旋和。

20世纪，双曲复数成为描述狭义相对论的劳仑兹变换的工具，因为不同参考系之间的速度变换可由双曲旋转表达。