参考系 ，又称参照系 、基准系 、坐标系 、参考坐标 等，在物理学 中指用以测量并记录位置、定向 以及其他物体属性的坐标系 ；或指与观测者 的运动状态相关的观测参考系；又或同指两者。
参考系有许多种，所以在提到参考系时，常会在前面加上字词指定是哪一种参考系，如笛卡儿坐标系 。人们也会指定参考系的属性：旋转参考系 强调参考系的运动状态，伽利略参考系强调系与系之间的变换法 ，而宏观或微观参考系则强调参考系的尺度大小。[ 注 1]
在本条目中，“观测者参考系”强调的是运动的状态，而非某种特定坐标系的选择，或是用于观测的仪器。这种用法能够研究观测者的运动对坐标系的影响，无论观测者使用的坐标系是哪一种。另一方面，当观测者的运动状态并非主要的针对点时，不同的“参考系”能够利用不同系统的对称性，来简化计算的过程。更广义的来说，许多物理学中的问题都用到广义坐标 、实模态 或特征矢量 ，这些都和时间和空间没有直接的关系。下文因此有必要分开叙述各种参考系，把观测者参考系、坐标系及观测仪器作为独立的概念来看，如下：
观测者参考系（如惯性参考系 或非惯性参考系 ）是与运动状态有关的物理概念。
坐标系为一个数学概念，是用于描述物理问题一种语言[ 注 2] [ 4]
对量度或观测工具的选择独立于观测者的运动状态和其选用的坐标系。
观测者O位于一组坐标（参照系F ）的原点。该参照系使用的本地坐标(x, y, z, t )来表示时空事件（以星形表示）。 “坐标”一词的意义有时是非专业性的（特别在物理学中），然而它在数学中却具有准确的意义。
数学中的坐标系是一个几何学 和代数学 用到的概念[ 5] [ 6] 流形 的一种特性（如物理学中的位形空间 和相空间 ）[ 7] [ 8] r 在n 维空间中的坐标 表达方式为n 元组[ 9] [ 10]
r
=
[
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
]
.
{\displaystyle \mathbf {r} =[x^{1},\ x^{2},\ \dots \ ,x^{n}]\ .}
在广义的巴拿赫空间 中，这些数字能够是诸如傅里叶级数 等函数展开式中的系数。在物理问题中，它们可以是时空 坐标或实模态 振幅。当用在机器人 设计时，它们可以是相对旋转的角度、直线平移或关节的变形度等[ 11] 笛卡尔坐标系 中的一组函数表示：
x
j
=
x
j
(
x
,
y
,
z
,
…
)
,
{\displaystyle x^{j}=x^{j}(x,\ y,\ z,\ \dots )\ ,}
j
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle j=1,\ \dots \ ,\ n\ }
其中
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
n
{\displaystyle n}
坐标面 为以下关系：
x
j
(
x
,
y
,
z
,
…
)
=
{\displaystyle x^{j}(x,y,z,\dots )=}
j
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle j=1,\ \dots \ ,\ n\ .}
这些面的相交处定义为坐标线 。在任何一点上，与相交的坐标线相切的所有切线组成一组在那一点的基矢量 ：
{
e
1
,
e
2
,
…
,
e
n
}
{\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots ,\mathbf {e} _{n}\}}
[ 12]
e
i
(
r
)
=
lim
ϵ
→
0
r
(
x
1
,
…
,
x
i
+
ϵ
,
…
,
x
n
)
−
r
(
x
1
,
…
,
x
i
,
…
,
x
n
)
ϵ
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{i}(\mathbf {r} )=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i}+\epsilon ,\ \dots ,\ x^{n}\right)-\mathbf {r} \left(x^{1},\ \dots ,\ x^{i},\ \dots ,\ x^{n}\right)}{\epsilon }}\ ,}
这能够归一化为单位长度。
坐标面、坐标线以及基矢量 组成一个坐标系 [ 13] 正交坐标系 。
坐标系中一个重要的方面在于其度量
g
i
k
{\displaystyle g_{ik}}
弧长
d
s
{\displaystyle ds}
[ 14]
(
d
s
)
2
=
g
i
k
d
x
i
d
x
k
,
{\displaystyle (ds)^{2}=g_{ik}\ dx^{i}\ dx^{k}\ ,}
并求和所有重复的索引。
根据上文可以看出，参考系其实是一个数学模型 ，属于公理系统 的一部分。参考系和物体运动实际上并没有关系，但在加上时间作为又一个坐标后，它就能够描述运动。所以，洛伦兹变换 及伽利略变换 可以被视为坐标转换 。
狭义相对论中的三个参考系。黑色的为静止的。带撇号的参考系以光速的40%速度运行，带两个撇号的则以光速的80%运行。注意当速度提升时，坐标线呈剪刀状变动。 观测者参考系 ，或一般只称为参考系，是与观测者 以及其运动状态相关的物理概念。在本文中所指的，是只和运动状态有关的参考系[ 15] [ 16] [ 17] [ 18] 广义相对论 中，广义坐标系的使用是很常见的（参见独立球体外的引力场的史瓦西解 [ 19]
观测者参考系有两种：惯性 与非惯性 参考系。惯性参考系中的物理定律都处于最为简单的形式。在狭义相对论 中，这种参考系通过洛伦兹变换 相互变换，其参数为快度 。在牛顿力学中，惯性参考系定义为牛顿第一定律 必须成立的参考系，也就是在这种参考系中的自由粒子 要么以直线 恒速运行，要么保持静止。它们之间以伽利略变换 互相转换。
与之相对的是非惯性参考系，当中的物理现象必须用到假想力 才能解释。其中一个例子为位于地球表面的参考系。该参考系围绕地球中心旋转，因此造成一系列的假想力，如科里奥利力 、离心力 和引力 。（这些力，包括引力在内，都是在真正的惯性参考系——自由落体——中不存在的。）
参考系的其中一方面在于，加载与参考系上的量度仪器 有关的（如钟或长杆等）到底具有什么样的角色。本文不讨论这一问题，而这是在量子力学 中牵涉到观测者与测量之间关系的一个课题。
在物理实验中，实验室量度仪器静止位处的参考系称为实验室参考系 。某些实验中的实验室参考系是惯性参考系，而另一些则不是（如在地球表面的大部分实验室都是非惯性参考系）。在粒子物理学中，一个常见的做法是把实验室参考系中的能量与动量转换到质心系 中，这样可以简化计算过程。
在思想实验 中用到的钟或长杆等观测者的量度仪器，在实际实验中是以非常复杂的仪器取代，从而间接地做出测量的。这些仪器用到真空 的属性，其原子钟 根据标准模型 运作，时间也必须根据引力时间膨胀 做出调整[ 20]
其实，爱因斯坦 认为钟和长杆应该由更基础的物体取代，如原子和分子等[ 21]
两辆车以不同的匀速移动，S 为固定在路面的惯性参考系，而S '为固定在第一辆车上的惯性参考系。 两辆车以不同的匀速在路面行驶（见图）。在某一时刻，它们间隔200米。前方的那辆车以每秒22米的速度行驶，随后的那辆车以每秒30米的速度行驶。要计算第二辆车在多久后会赶上第一辆车，我们可以使用三个参考系的其中一个。
首先，我们可以从路边观测两辆车。定义路边的参考系为S ：计时器在第二辆车经过路边观测者时开始，这时两车相距d = 200 m。两辆车都以匀速运行，所以我们可以用以下的公式表述它们的位置：x 1 (t )为第一辆车在时间t 秒后的位置，而x 2 (t )为第二辆车在时间t 秒后的位置。
x
1
(
t
)
=
d
+
v
1
t
=
200
+
22
t
;
x
2
(
t
)
=
v
2
t
=
30
t
{\displaystyle x_{1}(t)=d+v_{1}t=200\ +\ 22t\ ;\quad x_{2}(t)=v_{2}t=30t}
当时间为t = 0 s时，第一辆车位于200米处，而第二辆车位置为零，这符合实际情况。我们要设x 1 = x 2 ，并求t ：
200
+
22
t
=
30
t
{\displaystyle 200+22t=30t}
8
t
=
200
{\displaystyle 8t=200}
t
=
25
s
{\displaystyle t=25\,\mathrm {s} }
或者我们可以选择位于第一辆车上的参考系S '。在这个参考系里，第一辆车是静止的，而第二辆车跟随在后，速度为v 2 − v 1 = 8 m/s。赶上前一辆车所需的时间为
d
v
2
−
v
1
=
200
8
s
{\displaystyle {\frac {d}{v_{2}-v_{1}}}={\frac {200}{8}}\,\mathrm {s} }
另外我们也可以使用旋转或加速的参考系，但这样会不必要地把问题复杂化了。值得注意的是，在任何参考系中作出的测量都可以换算成其他的参考系。
以上的例子作了一些假设。比如牛顿使用的是世界时，因此两个相互以高速匀速运动的钟的时间流逝率永远是一样的。他认为一个参考系中的时间流逝率应该和所有其他参考系中的一样。也就是说，所有参考系的时间流逝率都和一个绝对的世界时相同，并不取决于参考系的位置和速率。爱因斯坦于1905年在他的狭义相对论 中延伸了这一概念，并假设所有物理定律在所有的惯性参考系中都相同（包括光在真空中的速度），在这种原理下参考系之间的变换方法称为洛伦兹变换 。
另外，惯性参考系 的定义并不局限于三维欧几里得空间 。牛顿所用的为简单的欧几里得空间，但广义相对论 则用一种更为广义的几何。就拿椭球体的几何为例，其中的自由粒子定义为沿着测地线 匀速移动或静止不动。两个自由粒子可以在表面上的同一点开始，以匀速向不同方向运行。一段时间后，两个粒子会在椭球体的另一边会和相撞。粒子均以匀速运行，符合没有外在施力的定义；没有加速度，也就符合了牛顿第一定律。因此这两个粒子位于惯性参考系当中。它们最后的相撞是椭球体的几何造成的。类似地，人们现在相信存在一种称为时空 的四维几何，而这种几何能够解释为什么两个有质量的物体在没有外力的情况下会互相靠近。时空的曲率取代了牛顿力学和狭义相对论中的引力。
非惯性参考系和惯性参考系之间的分别在于，在用到非惯性参考系时，必须用到假想力。
加速参考系一般以撇号标记，所有与其相关的变量都加以撇号：x '、y '、a '等。
某惯性参考系和非惯性参考系之间的距离一般记为R 。取同时存在于两个参考系中的任意点，从惯性参考系原点指向该点的矢量长度为r ，而从非惯性参考系原点指向该点的矢量长度为r '。以下的关系成立：
r
=
R
+
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {R} +\mathbf {r} '}
取一阶及二阶导数后得：
v
=
V
+
v
′
{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {V} +\mathbf {v} '}
a
=
A
+
a
′
{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {A} +\mathbf {a} '}
其中V 和A 分别为相对非惯性参考系的速率和加速度，而v 和a 分别为相对惯性参考系的速率和加速度。
利用这些公式，我们能够在两种参考系之间变换。比如，牛顿第二定律 现在可以写作：
F
=
m
a
=
m
A
+
m
a
′
{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} =m\mathbf {A} +m\mathbf {a} '}
当从旋转参考系等加速参考系来看时，惯性似乎表现为一种力（旋转参考系中有离心力 及与垂直于物体移动路径的科里奥利力 ）。
其中一种常见的加速参考系为同时旋转并平移的参考系（如固定在搬动并运作中的播放机里的光碟上的参考系）。如此的参考系有以下的方程：
a
=
a
′
+
ω
˙
×
r
′
+
2
ω
×
v
′
+
ω
×
(
ω
×
r
′
)
+
A
0
{\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '+{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '+2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')+\mathbf {A} _{0}}
或求相对加速参考系的物体加速度：
a
′
=
a
−
ω
˙
×
r
′
−
2
ω
×
v
′
−
ω
×
(
ω
×
r
′
)
−
A
0
{\displaystyle \mathbf {a} '=\mathbf {a} -{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')-\mathbf {A} _{0}}
两边乘以质量m 得
F
′
=
F
p
h
y
s
i
c
a
l
+
F
E
u
l
e
r
′
+
F
C
o
r
i
o
l
i
s
′
+
F
c
e
n
t
r
i
p
e
t
a
l
′
−
m
A
0
{\displaystyle \mathbf {F} '=\mathbf {F} _{\mathrm {physical} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {Euler} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {Coriolis} }+\mathbf {F} '_{\mathrm {centripetal} }-m\mathbf {A} _{0}}
其中
F
E
u
l
e
r
′
=
−
m
ω
˙
×
r
′
{\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {Euler} }=-m{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} '}
欧拉力 ）
F
C
o
r
i
o
l
i
s
′
=
−
2
m
ω
×
v
′
{\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} '}
科里奥利力 ）
F
c
e
n
t
r
i
f
u
g
a
l
′
=
−
m
ω
×
(
ω
×
r
′
)
=
m
(
ω
2
r
′
−
(
ω
⋅
r
′
)
ω
)
{\displaystyle \mathbf {F} '_{\mathrm {centrifugal} }=-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ')=m(\omega ^{2}\mathbf {r} '-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {r} '){\boldsymbol {\omega }})}
离心力 ）
According to Hawking and Ellis: "A manifold is a space locally similar to Euclidean space in that it can be covered by coordinate patches. This structure allows differentiation to be defined, but does not distinguish between different coordinate systems. Thus, the only concepts defined by the manifold structure are those that are independent of the choice of a coordinate system." Stephen W. Hawking & George Francis Rayner Ellis. The Large Scale Structure of Space-Time . Cambridge University Press. 1973: 11 [2013-02-08 ] . ISBN 0-521-09906-4存档 于2017-01-07）. A mathematical definition is: A connected Hausdorff space M is called an n-dimensional manifold if each point of M is contained in an open set that is homeomorphic to an open set in Euclidean n-dimensional space. For example, Møller states: "Instead of Cartesian coordinates we can obviously just as well employ general curvilinear coordinates for the fixation of points in physical space.…we shall now introduce general "curvilinear" coordinates x i in four-space…." C. Møller. The Theory of Relativity. Oxford University Press. 1952: 222 and p. 233.
![{\displaystyle \mathbf {r} =[x^{1},\ x^{2},\ \dots \ ,x^{n}]\ .}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d77ca41fbd7ae5a9deac0187b55635d1afae0092)
