引力时间膨胀

引力时间膨胀（英语：Gravitational time dilation）是指在宇宙有不同势能的区域会导致时间以不同的速率度过的现象，引力导致的时空扭曲率越大，时间就过得越慢。爱因斯坦最初在自己的相对论中预测出这种现象，并其后由各种广义相对论实验中被证实

其中一种证实方法就是把两个原子钟放在不同的高度（因此来自地球的引力效应会有差别），它们在一段时间后所测到的时间会有些许差别。其差别极小极小，甚至要用到纳秒来作单位。

引力时间膨胀首次由爱因斯坦于1907年提出，并是狭义相对论中参照对象的加速前进所导致的结果。在广义相对论中，它被视为是时空度规张量描述的在不同地点的固有时的差。庞德-雷布卡实验首次直接证实了这种现象的存在。

意思

引力时间膨胀会从大型天体引力场中加速的参考坐标或等效原理里明确地表现出来。更简单的来说，远离大型天体（就是储有更高势能）的钟表会走得更快，而接近大型天体的（储有较低势能）的便会走得更慢。

所有加速参考坐标都会表现出这种反应，如高速赛车或太空航天飞机。旋转的物体如旋转木马和摩天轮等的引力时间膨胀，则是自旋产生的。

根据套用了等效原理的广义相对论表明，所有加速的参考坐标都会产生一个引力场。根据广义相对论，惯性质量和引力质量都是同等的。并非所有引力场都是“弯形的”或是“圆形的”，其实例如赛车或太空航天飞机情况中，引力场是“平坦的”。所有重力加速度都会形成引力时间膨胀。

• 对于一个主观基准观测者来看，一个加速中的盒子的公式是${\displaystyle T_{d}=1+gh/c^{2}}$，而其中的
  • ${\displaystyle T_{d}}$是在远处的总共时间膨胀，
  • ${\displaystyle g}$是基准观测者量出的盒子加速度，
  • ${\displaystyle h}$是观测者们之间的“垂直”距离。
• 在一个旋转中的圆盘上，基准观测者位于圆心并于盘子同速自转时（就是说这时的时空观不是惯性的），其公式是${\displaystyle T_{d}={\sqrt {1-r^{2}\omega ^{2}/c^{2}}}}$，其中的
  • ${\displaystyle r}$是离圆心的距离（基准观测者的位置），
  • ${\displaystyle \omega }$是盘子的转速。

因此在惯性参考坐标中速度时间膨胀的公式就是大家熟悉的算法。

在不旋转的球体外

有一条出自史瓦西度规的公式被用在计算于一个非旋转大型球对称天体附近时空的引力时间膨胀：

${\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {r_{0}}{r}}}}}$，其中

• ${\displaystyle t_{0}}$是相对于位于这个引力场内观测者固有时（他的时间走得较慢）的A和B事件之间的时差，
• ${\displaystyle t_{f}}$是相对于位于这个引力场外观测者固有时（他的时间走得较快）的A和B事件之间的时差，
• ${\displaystyle G}$是引力常数，
• ${\displaystyle M}$是产生引力天体的质量，
• ${\displaystyle r}$是观测者的径向坐标（相似于从天体中心的距离，但实际上是史瓦西坐标），
• ${\displaystyle c}$是光速，
• ${\displaystyle r_{0}=2GM/c^{2}}$是M的史瓦西半径。如果一个大型天体坍塌后，其表面位于这个径向坐标上（换句话说就是它的半径等于${\displaystyle r_{0}=2GM/c^{2}}$），那么这个坍塌后的天体就是一个黑洞。

在不旋转的球体内

以上公式只能应用于非旋转球对称大型天体之外，用于天体之内的公式为：

${\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {2G({\frac {r_{i}}{R}})^{3}M}{r_{i}c^{2}}}}}=t_{f}{\sqrt {1-r_{i}^{2}{\frac {r_{0}}{R^{3}}}}}}$其中

• ${\displaystyle r_{i}}$是天体内其中一点至球体中心的距离，
• ${\displaystyle R}$是球体的半径，
• ${\displaystyle M}$是半径为${\displaystyle R}$的同一个球体的质量。

要是有观测者在球体以内，这个球体就可以被分成两部分：一个在表面的中空球体，另一个在里面的实心球体。这观测者在中空球体以内，假设并无质量。但考虑到他的引力势能，也就当作中空球体不存在^[1][2]。剩下的就只有里面的实心球体，而其质量为：

${\displaystyle M_{i}=V_{i}\rho ={\frac {4}{3}}\pi r_{i}^{3}\rho ={\frac {4}{3}}\pi r_{i}^{3}{\frac {M}{V}}={\frac {4}{3}}\pi r_{i}^{3}{\frac {M}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}={\frac {r_{i}^{3}}{R^{3}}}M}$，其中

• ${\displaystyle r_{i}}$、${\displaystyle R}$和${\displaystyle M}$同上，
• ${\displaystyle V}$是这个半径为${\displaystyle R}$的球体的体积，
• ${\displaystyle M_{i}}$是半径为${\displaystyle r_{i}}$的球体的质量，
• ${\displaystyle V_{i}}$是半径为${\displaystyle r_{i}}$的球体的体积，
• ${\displaystyle \rho }$是球体的密度（每个区域的密度相同）。

意思就是引力时间膨胀在非旋转大型球对称天体的表面达到最强，而在其中心达到最小。

圆形轨道

在史瓦西度规里，如果一个自由落体的轨道半径大于${\displaystyle {\frac {3}{2}}\cdot r_{0}}$，其轨道能呈圆形。静止的钟的公式一列于上方，而对于一个在圆形轨道上的钟，公式就是${\displaystyle t_{0}=t_{f}{\sqrt {1-{\frac {3}{2}}\cdot {\frac {r_{0}}{r}}}}}$。

值得强调的事

• 根据广义相对论，只要有加速参考坐标，引力时间膨胀就会出现。

• 根据一个观测者，光速永远等于c。从静止观测者的角度看到的时空要对应于他身处地的固有时。每一块极小的空间都可能会有其自己对应于当地引力时间膨胀的固有时，而电磁波和物质可能会被同等地受影响，由于它们都有着相同的本质（在许多牵涉到著名公式${\displaystyle E=mc^{2}}$的实验中显示出）。不论这些空间有没有被一个观测者所占据，它们仍然有着意义。引力时间延迟效应经由在太阳引力场附近弯曲，在金星处反弹到地球的信号测量出来。此时光速不变定理没有被违反，只要这观测者只观测受同等引力时间膨胀影响的光子，而非那些经过更多或甚至更少引力时间膨胀的光子。

如一个观测者在一个遥远的地方观测到来的光线，又能观测到一个引力时间膨胀更强的观测者，他会见到光和第二个观测者的固有时都较慢，相比于其他光线。

试验证实

引力时间膨胀已经以飞机上的原子钟实验测量出。对于在地上的钟来说，飞机上的稍微快一点。这个效应的有效程度是，连全球定位系统也要为人造卫星上的钟调准时间，这样进一步地证实了这种效应。^[3]

庞德-雷布卡实验、白矮星天狼星B光谱的观测以及地球和火星登陆船维京1号之间的信号传递实验都能证明这种效应的存在。

参见

• 引力红移
• 地球时
• 弗朗西斯·艾福瑞特（Francis Everitt）

注释

1. Shell theorem
2. Gauss's law for gravity
3. Richard Wolfson. Simply Einstein. W W Norton & Co. 2003: p. 216. ISBN 0393051544. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

参考资料

• Einstein, Albert. "Relativity : the Special and General Theory by Albert Einstein." Project Gutenberg. <http://www.gutenberg.org/etext/5001 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.>
• Einstein, Albert. "The effect of gravity on light" (1911), translated and reprinted in The Principle of Relativity <http://einstein.relativitybook.com/Einstein_gravity.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）>
• Nave, C.R. "Gravity and the Photon." Hyperphysics. <http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/relativ/blahol.html#c2 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.>