开普勒问题

在经典力学里，开普勒问题是二体问题的一个特别案例。假若，两个物体以有心力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$互相作用；力的大小与距离${\displaystyle r\,\!}$的平方成反比。则称此物理系统所涉及的问题为开普勒问题^[1]。反平方有心力以公式表示为

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \,\!}$；

二体问题示意图。

其中，${\displaystyle k\,\!}$是常数，${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}\,\!}$是径向单位矢量。

有心力可以是吸引性的（${\displaystyle k<0\,\!}$），也可以是排斥性的（${\displaystyle k>0\,\!}$），对应的位势为

${\displaystyle V(r)=-{\frac {k}{r}}\,\!}$。

开普勒问题是因天文学家约翰内斯·开普勒而命名。他推出了在天文学历史上，具有关键价值的开普勒定律。遵守开普勒定律的作用力有那些特性呢（逆开普勒问题）？在这方面，他也做了很多的研究^[2]。

在很多状况下，会遇到开普勒问题。天体力学时常会涉及开普勒问题，因为牛顿万有引力遵守反平方定律。例如，人造卫星环绕着地球，行星环绕着太阳，或双星系统。开普勒问题涉及了两个电荷子的物理运动，因为静电学的库仑定律遵守反平方定律。例如，氢原子，正子素，与μ子偶素。这些典型系统，在测验物理理论与测量自然常数上，都扮演了很重要的角色。

在经典力学里，开普勒问题与谐振子问题是两个最基本的问题。只有这两个问题的解答是闭合轨道；也就是说，物体从一点移动，经过一段路径后，又回到原先点。在经典力学里，开普勒问题时常被用来发展新的表述方法，像拉格朗日力学，哈密顿力学，哈密顿-亚可比方程，与作用量-角度坐标。在开普勒问题里，拉普拉斯-龙格-楞次矢量是一个运动常数。开普勒问题的解答使科学家能够用经典力学完全地解释清楚行星运动。这行星运动的科学解释在启蒙时代的开启扮演了重要的角色。

开普勒问题解析

所有的吸引性的有心力都能够形成圆形轨道，前提是有心力必须相等于粒子的向心力。给定圆半径，这要求相当于物体的角速度已被决定。在此条目里，不会提到非有心力。一般而言，非有心力不能形成圆形轨道。

假设，一个质量为${\displaystyle m\,\!}$的粒子移动于一个连心势${\displaystyle V(r)\,\!}$内。${\displaystyle r\,\!}$是径向坐标。其拉格朗日方程为

${\displaystyle m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-mr\omega ^{2}=m{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}\,\!}$；

其中，时间是${\displaystyle t\,\!}$，角速度是${\displaystyle \omega \equiv {\frac {d\theta }{dt}}\,\!}$，运动常数角动量是${\displaystyle L=mr^{2}\omega \,\!}$。

详细说明，对于圆形轨道，方程左手边第一项目等于零；如预期，有心力${\displaystyle -{\frac {dV}{dr}}\,\!}$相等于向心力${\displaystyle -mr\omega ^{2}\,\!}$。

角动量定义可以将自变数从${\displaystyle t\,\!}$改变为${\displaystyle \theta \,\!}$：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\,\!}$，

这样，新的运动方程不含时间：

${\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{mr^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{mr^{3}}}=-{\frac {dV}{dr}}\,\!}$。

变数变换${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}\,\!}$，将方程两边乘以${\displaystyle {\frac {mr^{2}}{L^{2}}}\,\!}$，则可得二次微分方程：

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)\,\!}$。

对于一个反平方作用力，像万有引力或静电力，位势可以表示为

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-k}{r}}=-ku\,\!}$。

代入微分方程，

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {m}{L^{2}}}{\frac {d}{du}}V(1/u)={\frac {km}{L^{2}}}\,\!}$。

导引出轨道为

${\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}={\frac {km}{L^{2}}}\left[1+e\cos \left(\theta -\theta _{0}\right)\right]\,\!}$；

其中，离心率是${\displaystyle e\,\!}$，相位常数是${\displaystyle \theta _{0}\,\!}$。这些都是积分常数。

这是一个焦点在力中心点的圆锥曲线方程。圆锥曲线的离心率与总能量${\displaystyle E\,\!}$有关：

${\displaystyle e={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}}{k^{2}m}}}}\,\!}$。

假若${\displaystyle E=-{\frac {k^{2}m}{2L^{2}}}\,\!}$，则${\displaystyle e=0\,\!}$，轨道是圆形的；假若${\displaystyle E<0\,\!}$，则${\displaystyle e<1\,\!}$，轨道是椭圆形的；假若${\displaystyle E=0\,\!}$，则${\displaystyle e=1\,\!}$，轨道是抛物线；假若${\displaystyle E>0\,\!}$，则${\displaystyle e>1\,\!}$，轨道是双曲线。

参阅

• 开普勒定律
• 广义相对论中的开普勒问题
• 拉普拉斯-龙格-楞次矢量
• 伯特兰定理
• 哈密顿-亚可比方程
• 作用量-角度坐标
• 牛顿旋转轨道定理

参考文献

1. Arnold, VI. Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed.. New York: Springer-Verlag. 1989: 38. ISBN 0-387-96890-3.
2. Goldstein, H. Classical Mechanics 2^nd edition. Addison Wesley. 1980. 引文格式1维护：冗余文本 (link)