作用量-角度坐标

在经典力学里，作用量-角度坐标（action-angle coordinate）是一组正则坐标，通常在解析可积分系统 (Integrable system) 时，有很大的用处。应用作用量-角度坐标的方法，不需要先解析运动方程，就能够求得振动或旋转的频率。作用量-角度坐标主要用于完全可分的 哈密顿-亚可比方程（哈密顿量显性地不含时间，也就是说，能量保持恒定）。作用量-角度变数可以用来定义一个环面不变量。因为，保持作用量的不变设定了环的曲面，而角度是环面的另外一个坐标，粒子依照着角度，卷绕于环面。

在量子力学早期，波动力学发展成功之前，玻尔-索末菲量子化条件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力学的利器。此条件阐明，作用量必须是普朗克常数常数的整数倍。爱因斯坦对于 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 与 非可积分系统 量子化的困难，都是以 作用量-角度坐标的环面不变量 来表达。

在哈密顿力学里，作用量-角度坐标也可以应用于摄动理论，特别是在决定缓渐不变量。关于一个自由度很小的动力系统的非线形摄动，混沌理论研究的最早的一个结果是 KAM theorem 。这定理阐明，对于微小摄动，环面不变量是稳定的。

作用量-角度坐标，对于户田晶格 (Toda field theory) 的解析，对于 Lax pairs 的定义，更广义地，对于一个系统同光谱 (isospectral) 演化的构想，都占有关键地位。

导引

保守的哈密顿量系统

主条目：哈密顿特征函数

假设，在一个物理系统里，哈密顿量是保守的，也就是说，哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 不显含时间；

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}}$ ；

其中，${\displaystyle a_{\mathcal {H}}}$ 是运动常数，${\displaystyle \mathbf {q} }$ 是广义坐标，${\displaystyle \mathbf {p} }$ 是广义动量。

采用哈密顿特征函数 ${\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )}$ 为正则变换的第二型生成函数。变换方程为

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}}$ ，

${\displaystyle \mathbf {Q} ={\frac {\partial W}{\partial \mathbf {P} }}}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {Q} }$ 是新广义坐标，${\displaystyle \mathbf {P} }$ 是新广义动量。

新哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ 与旧哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 相等：

${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbf {Q} ;\ \mathbf {P} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}}$ 。

新广义动量的哈密顿方程为

${\displaystyle {\dot {\mathbf {P} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {K}}}{\partial Q}}=0,\!}$ 。

所以，新广义动量是常数 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ：

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {a} }$ ，

假设，这物理系统的哈密顿-亚可比方程 ${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}}$ 为完全可分的，则哈密顿特征函数 ${\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {P} )}$ 可以分离为 ${\displaystyle n}$ 个函数 ${\displaystyle W_{i}}$ ：

${\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {a} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )}$ 。

哈密顿特征函数与新旧正则坐标的关系是

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial W_{i}(q_{i};\ \mathbf {a} )}{\partial q_{i}}}}$ ，

${\displaystyle Q_{i}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {a} )}{\partial a_{i}}}}$ 。

周期性运动

假若，粒子的运动是周期性运动，最常见的例子如振动或旋转都是周期性运动，则可以设计一个新正则坐标－作用量-角度坐标 ${\displaystyle (\mathbf {w} ,\ \mathbf {J} )}$ 。定义作用量为

${\displaystyle J_{i}\equiv \oint p_{i}dq_{i}}$ ；

这闭路径积分的路径是粒子运动一周期的路径。

由于广义动量 ${\displaystyle p_{i}}$ 只跟 ${\displaystyle q_{i}}$ 、${\displaystyle \mathbf {a} }$ 有关，经过积分，作用量${\displaystyle J_{i}}$ 只跟 ${\displaystyle \mathbf {a} }$ 有关。所以，作用量矢量 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 只是个常数矢量。哈密顿特征函数可以表达为

${\displaystyle W(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(q_{i};\ \mathbf {J} )}$ 。

虽然是同样的物理量，函数的参数不同，形式也不同。

定义角度 ${\displaystyle \mathbf {w} }$ 为

${\displaystyle w_{i}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\ {\frac {\partial W_{j}(q_{j};\ \mathbf {J} )}{\partial J_{i}}}}$ 。

由于所有的广义坐标 ${\displaystyle q_{i}}$ 都相互独立，所有的广义动量 ${\displaystyle p_{i}}$ 也都相互独立，所以，所有的作用量 ${\displaystyle J_{i}}$ 都相互独立，作用量-角度坐标可以正确的用为正则坐标。这样，哈密顿特征函数可以用正则坐标作用量-角度坐标表达为

${\displaystyle W(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )=\sum _{i=1}^{n}\ W_{i}(w_{i};\ \mathbf {J} )}$ 。

新哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}'}$ 与旧哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 相等：

${\displaystyle {\mathcal {K}}'(\mathbf {w} ;\ \mathbf {J} )={\mathcal {H}}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {p} )=a_{\mathcal {H}}}$ 。

因为作用量 ${\displaystyle J_{i}=J_{i}(\mathbf {a} )}$ 只是常数矢量，所以，

${\displaystyle -{\dot {J}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial w_{i}}}=0}$ 。

新哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}'={\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )}$ ，只跟作用量 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 有关，跟角度 ${\displaystyle \mathbf {w} }$ 无关。

角度 ${\displaystyle w_{i}}$ 随时间的导数 ${\displaystyle \nu _{i}}$ ，可以用哈密顿方程决定：

${\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )={\dot {w}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{i}}}}$ 。

每一个 ${\displaystyle J_{i}}$ 都是常数，所以，${\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )}$ 也是常数：

${\displaystyle w_{i}=\nu _{i}t+\beta _{i}}$ ；

其中，${\displaystyle \beta _{i}}$ 是积分常数。

运动频率

假设原本广义坐标 ${\displaystyle q_{i}}$ 的振荡或旋转的运动周期为 ${\displaystyle T_{i}}$ ，则其对应的角度变数 ${\displaystyle w_{i}}$ 的改变是 ${\displaystyle \Delta w_{i}=\nu _{i}T_{i}}$ 。进一步了解物理量 ${\displaystyle \nu _{i}}$ 的性质，猜想 ${\displaystyle \nu _{i}}$ 与广义坐标 ${\displaystyle q_{i}}$ 周期性运动的频率有关。可是，因为角度 ${\displaystyle w_{i}}$ 是广义坐标 ${\displaystyle \mathbf {q} }$ 与作用量 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 的函数，无法确定前面的猜想。为了证实这论点，计算周期 ${\displaystyle T_{i}}$ ：

${\displaystyle T_{i}=\oint dt=\oint {\frac {dq_{i}}{\dot {q_{i}}}}=\oint {\cfrac {dq_{i}}{\ \ {\cfrac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\ \ }}}$ 。

新哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal {K}}'(\mathbf {J} )}$ 与旧哈密顿量 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ 相等。所以，

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial {\mathcal {K}}'}{\partial J_{j}}}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}{\frac {\partial J_{j}}{\partial p_{i}}}}$ 。

假若 ${\displaystyle q_{j}}$ 是个循环坐标，那么，其共轭动量 ${\displaystyle p_{j}}$ 必是个常数，可以从作用量的定义积分内提出来：

${\displaystyle J_{j}\equiv \oint p_{j}dq_{j}=p_{j}\oint dq_{j}=p_{j}\ell }$ ；

其中，${\displaystyle \ell }$ 是 ${\displaystyle q_{j}}$ 运动一周期的值。

这样，

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}\nu _{j}\delta _{ij}\,\ell =\nu _{i}\,\ell }$ 。

代入周期 ${\displaystyle T_{i}}$ 的公式，

${\displaystyle T_{i}=\oint {\frac {dq_{i}}{\nu _{i}(\mathbf {J} )\,\ell }}={\frac {1}{\nu _{i}}}}$ 。

肯定地，${\displaystyle \nu _{i}}$ 是广义坐标 ${\displaystyle q_{i}}$ 的频率。

假若 ${\displaystyle q_{j}}$ 不是循环坐标，则不能将其共轭动量 ${\displaystyle p_{j}}$ 从作用量的定义积分内提出来，必须采用另外一个方法计算。从角度的定义，可以察觉角度 ${\displaystyle w_{i}}$ 跟广义坐标 ${\displaystyle \mathbf {q} }$ 、作用量 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 有关：

${\displaystyle w_{i}=w_{i}(\mathbf {q} ;\ \mathbf {J} )}$ 。

保持作用量不变，角度的虚位移 ${\displaystyle \delta w_{i}}$ 是：

${\displaystyle \delta w_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}}$ 。

在一个周期性物理系统里，每一个广义坐标 ${\displaystyle q_{i}}$ 都有它运动的周期 ${\displaystyle T_{i}}$ 。假若，其中有任何广义坐标的周期与别的广义坐标的周期不相同，则称此物理系统为多重周期性物理系统。假若，两个广义坐标的周期不同 ${\displaystyle T_{1}}$ 、${\displaystyle T_{2}}$ 。在做闭路径积分的时候，就必须使用使用一个新的周期 ${\displaystyle T}$ ，让闭路径积分能够开始与结束于同一点．假若，两个周期的比例是个有理数，则称这两个周期互相可通约的。设定新周期为

${\displaystyle T=m_{1}T_{1}+m_{2}T_{2}}$ ；

其中，${\displaystyle {\frac {T}{T_{1}}}}$ 、${\displaystyle {\frac {T}{T_{2}}}}$ 、${\displaystyle m_{1}}$ 、${\displaystyle m_{2}}$ ，都是正值的整数。

同样地，在多重周期性物理系统里，假若，每一个广义坐标的周期与其它的广义坐标的周期都是互相可通约的，则此系统是完全可通约的，称此系统为完全可通约系统。那么，新周期 ${\displaystyle T}$ 为

${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}m_{i}T_{i}}$ ；

其中，${\displaystyle {\frac {T}{T_{i}}}}$ 、${\displaystyle m_{i}}$ ，都是正值的整数。

经过一个周期 ${\displaystyle T}$ ，角度 ${\displaystyle w_{i}}$ 的变化是：

${\displaystyle \Delta w_{i}=\nu _{i}m_{i}T_{i}=\oint \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial w_{i}}{\partial q_{j}}}dq_{j}=\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}\ \partial J_{i}}}dq_{j}}$ 。

由于作用量 ${\displaystyle J_{i}}$ 是个常数，可以将它从积分内提出：

${\displaystyle \Delta w_{i}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial W_{k}(q_{k};\ \mathbf {J} )}{\partial q_{j}}}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\oint \sum _{j=1}^{n}p_{j}dq_{j}={\frac {d}{dJ_{i}}}\sum _{j=1}^{n}m_{j}J_{j}=m_{i}}$ 。

所以，频率是

${\displaystyle \nu _{i}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}}$ 。

假若，有任何两个互相不可通约的广义坐标 ${\displaystyle q_{i}}$ 、${\displaystyle q_{j}}$ ，其周期 ${\displaystyle T_{i}}$ 、${\displaystyle T_{j}}$ 的比例是无理数。那么，${\displaystyle q_{i}}$ 不可能与 ${\displaystyle q_{j}}$ 同时回到同一点。虽然如此，有理论证明，${\displaystyle \nu _{i}}$ 、${\displaystyle \nu _{i}}$ 仍旧分别是 ${\displaystyle q_{i}}$ 、${\displaystyle q_{j}}$ 的频率。

傅里叶级数

角度 ${\displaystyle \mathbf {w} }$ 是一组互相独立的广义坐标。所以，一般而言，每一个广义坐标 ${\displaystyle q_{k}}$ 可以用角度的傅里叶级数表示：

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\ldots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\ldots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}}$ ；

其中， ${\displaystyle A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}}$ 是傅里叶级数系数。

在大多数实际案例，物理系统的哈密顿-亚可比方程 ${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(\mathbf {q} ,\ {\frac {\partial W}{\partial \mathbf {q} }}\right)=a_{\mathcal {H}}}$ 为完全可分的。那么，一个原本广义坐标 ${\displaystyle q_{k}}$ 只需用其相应的角度变数的傅里叶级数表示：

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi s_{i}w_{i}}}$ 。

基本规则总结

一般程序有三个步骤：

1. 计算作用量变数 ${\displaystyle J_{i}}$ 。
2. 用作用量变数表示原本哈密顿量。
3. 取哈密顿量关于作用量变数的导数。这样，可以求得频率 ${\displaystyle \nu _{i}}$ 。

简并度

在有些案例，两个不同的广义坐标会有相同的频率；也就是说，${\displaystyle \nu _{i}=\nu _{j}}$ for ${\displaystyle i\neq j}$ 。称这些案例的运动状态为简并。

简并的运动给出暗示，很可能有更多的保守量。例如，开普勒问题的频率是简并的，这对应于拉普拉斯-龙格-楞次矢量的恒定性。

简并的运动还给出暗示，在多于一种坐标系统里，哈密顿-亚可比方程会是完全可分的。例如，开普勒问题在球坐标系与抛物线坐标系，都是完全可分的。

参考文献

• Lev D. Landau and E. M. Lifshitz, (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).

• H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.