广义动量

拉格朗日力学与哈密顿力学时常涉及广义动量。这是因为采用广义坐标有许多优点。而广义动量是正则共轭于广义坐标的物理量，又称为共轭动量。

假设一个物理系统的广义坐标是 ${\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots ,\ q_{N})\,\!}$ ，则广义速度为 ${\displaystyle ({\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ {\dot {q}}_{3},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N})\,\!}$ 。表示广义动量为 ${\displaystyle (p_{1},\ p_{2},\ p_{3},\ \dots ,\ p_{N})\,\!}$ 。定义广义动量为拉格朗日量 ${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$ 随广义速度的导数：

${\displaystyle p_{k}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\,\!}$ ；

广义动量守恒定律

如果一个物理系统是单演系统与完整系统，那么，哈密顿原理保证拉格朗日方程的成立：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{k}}}=0\,\!}$ 。

假若，${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$ 不显含广义坐标 ${\displaystyle q_{k}\,\!}$ ：

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{k}}}=0\,\!}$ ，

则广义动量 ${\displaystyle p_{k}\,\!}$ 是常数。在此种状况，坐标 ${\displaystyle q_{k}\,\!}$ 称为循环坐标，或可略坐标。举例而言，如果我们用圆柱坐标 ${\displaystyle (r,\ \theta ,\ h)\,\!}$ 来描述一个粒子的运动，而 ${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$ 与 ${\displaystyle \theta \,\!}$ 无关，则广义动量是守恒的角动量。

参阅

• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学
• 广义力
• 正则变换