圆锥曲线

圆锥曲线（英语：conic section），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次平面曲线，是数学、几何学中透过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的曲线，包括圆，椭圆，抛物线，双曲线及一些退化类型。

圆锥曲线

圆锥曲线在约公元前200年时就已被命名与研究，其发现者为古希腊的数学家阿波罗尼奥斯，当时阿波罗尼阿斯已对它们的性质做过系统性的研究。

圆锥曲线应用最广泛的定义为（椭圆，抛物线，双曲线的统一定义）：动点到一定点（焦点）的距离与其到一定直线（准线）的距离之比为常数（离心率${\displaystyle e}$）的点的集合是圆锥曲线。对于${\displaystyle 0<e<1}$得到椭圆，对于${\displaystyle e=1}$得到抛物线，对于${\displaystyle e>1}$得到双曲线。

定义

有同一焦点 ${\displaystyle F}$ 和同一准线 ${\displaystyle l}$ 的：椭圆（${\displaystyle e}$=1/2）、抛物线（${\displaystyle e}$=1）、双曲线（${\displaystyle e}$=2）。

设${\displaystyle F}$为定点，${\displaystyle l}$为定直线，${\displaystyle e}$为正常数，称满足${\displaystyle {\frac {|PF|}{|Pl|}}=e}$的动点${\displaystyle P}$的轨迹为圆锥曲线。

其中${\displaystyle F}$为其焦点，${\displaystyle l}$为准线，${\displaystyle e}$为离心率。

由此可知，圆锥曲线的极坐标参数方程为${\displaystyle \rho =e(d-\rho \cos \theta )}$或${\displaystyle \rho ={\frac {ed}{1\pm e\cos \theta }}}$（正负号由所选焦点与定直线所处的位置不同而引起）。 其中${\displaystyle \theta }$为${\displaystyle PF}$与极轴的夹角，${\displaystyle d}$为定直线${\displaystyle x=d}$，即准线到焦点的距离。

将参数方程转换成直角坐标方程易得，

当${\displaystyle e=1}$时，曲线为抛物线。

当${\displaystyle e\neq 1}$时，

当${\displaystyle 0<e<1}$时，曲线为椭圆。

当${\displaystyle e>1}$时，曲线为双曲线。

圆锥曲线的类型

圆锥曲线	方程	离心率（e）	半焦距（c）	半正焦弦（ℓ）	焦点准线距离（p）
圆	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle a\,}$	${\displaystyle \infty }$
椭圆	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}$
抛物线	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle -\,}$	${\displaystyle 2a\,}$	${\displaystyle 2a\,}$
双曲线	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle {\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}}$	${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a}}}$	${\displaystyle {\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}$

圆锥曲线的类型：1.抛物线2.圆和椭圆3.双曲线

椭圆，圆：当平面只与圆锥面一侧相交，交截线是闭合曲线的时候，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。如果截面与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。

抛物线：截面仅与圆锥面的一条母线平行，结果为抛物线。

双曲线：截面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线。

在平面通过圆锥的顶点的时候，有一些退化情况。交截线可以是一个直线、一个点、或一对直线。

几何性质

椭圆（ellipse）

椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。

抛物线（Parabola）

抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

双曲线（Hyperbola）

双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于贯轴长（2a）。

离心率

有固定焦点F和准线的圆（e=0) 、椭圆（e=1/2）、抛物线 (e=1)和双曲线（e=2）。

对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是${\displaystyle a/e\ }$，这里的${\displaystyle a\ }$是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是${\displaystyle ae\ }$。

在圆的情况下，${\displaystyle e=0}$且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。

圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。

对于一个给定的${\displaystyle a\ }$，${\displaystyle e\ }$越接近于1，半短轴就越小。

笛卡尔坐标

在笛卡尔坐标系内，二元二次方程的图像可以表示圆锥曲线，并且所有圆锥曲线都以这种方式引出。方程有如下形式

${\displaystyle Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}$

此处参数${\displaystyle A\,}$，${\displaystyle B\,}$和${\displaystyle C\,}$不得皆等于${\displaystyle 0\ }$。

矩阵表示

上述方程可以使用矩阵表示为^[1]

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+\left[{\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\end{matrix}}\right]+F=0}$

亦可以写作

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&y&1\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}x\\y\\1\end{matrix}}\right]=0}$

这是在射影几何中使用的齐次形式的一个特例。 (参见齐次坐标)

下文中记${\displaystyle A_{33}=\left[{\begin{matrix}A&B/2\\B/2&C\end{matrix}}\right]}$，记${\displaystyle A_{Q}={\begin{bmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{bmatrix}}}$。

类别

借由${\displaystyle A_{Q}}$，我们可以判定圆锥曲线是否退化。

• 若${\displaystyle \det(A_{Q})=0}$，则圆锥曲线${\displaystyle Q}$退化。
• 若${\displaystyle \det(A_{Q})\neq 0}$，则圆锥曲线${\displaystyle Q}$未退化。

若圆锥曲线未发生退化，则^[2]

• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})>0}$, 方程表示一个椭圆；
  • 对于椭圆，当${\displaystyle (A+C)\det(A_{Q})<0}$时，${\displaystyle Q}$为一个实椭圆；当${\displaystyle (A+C)\det(A_{Q})>0}$时${\displaystyle Q}$为一个虚椭圆。（例如，${\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+10=0}$没有任何实值解，是一个虚椭圆）
  • 特别的，若${\displaystyle A=C}$ ，${\displaystyle B=0}$且${\displaystyle D^{2}+E^{2}-4AF>0\,}$，作为椭圆的特殊情况，${\displaystyle Q}$表示一个圆。
• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})=0}$，${\displaystyle Q}$表示一条抛物线；
• 若 ${\displaystyle \det(A_{33})<0}$，${\displaystyle Q}$表示一条双曲线；
  • 若${\displaystyle A+C=0}$ ，${\displaystyle Q}$表示一条直角双曲线。

若圆锥曲线发生退化，则

• 若${\displaystyle \det(A_{33})>0}$，作为椭圆的退化，${\displaystyle Q}$为一个点。
• 若${\displaystyle \det(A_{33})=0}$，作为抛物线的退化，${\displaystyle Q}$为两条平行直线。
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}>4(A+C)F}$，${\displaystyle Q}$为两条不重合的平行直线。
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}=4(A+C)F}$，${\displaystyle Q}$为两条重合的平行直线。（特别的，此时${\displaystyle A_{Q}}$的秩为1）
  • 若${\displaystyle D^{2}+E^{2}<4(A+C)F}$，${\displaystyle Q}$直线不存在与实平面中。
• 若${\displaystyle \det(A_{33})<0}$，作为双曲线的退化，${\displaystyle Q}$为两条相交直线。（同时，也是双曲线的渐近线）

在此处的表达中，${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$为多项式系数，而非半长轴${\displaystyle A}$和半短轴${\displaystyle B}$。

不变量

矩阵${\displaystyle A_{Q}}$、${\displaystyle A_{33}}$的行列式，以及${\displaystyle A+C}$（${\displaystyle A_{33}}$的迹）在任意的旋转和座标轴的交换中保持不变。^{[2][3][4] [5]:60–62页} 常数项${\displaystyle F}$以及${\displaystyle D^{2}+E^{2}}$仅在旋转中保持不变。^{[5]:60–62页}

离心率

${\displaystyle Q}$的离心率可被写作关于${\displaystyle Q}$系数的函数。^[6] 若 ${\displaystyle \det(A_{33})=0}$，${\displaystyle Q}$为 抛物线，其离心率为1。其它情况下，假设${\displaystyle Q}$表达一个未退化的椭圆或双曲线，那么

${\displaystyle e={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}{\eta (A+C)+{\sqrt {(A-C)^{2}+B^{2}}}}}},}$

此处若${\displaystyle \det(A_{Q})}$为负则${\displaystyle \eta =1}$；若${\displaystyle \det(A_{Q})}$为正则${\displaystyle \eta =-1}$。

此外，离心率${\displaystyle e}$也是下述方程的一个正根^[5]:89页

${\displaystyle \Delta e^{4}+[(A+C)^{2}-4\Delta ]e^{2}-[(A+C)^{2}-4\Delta ]=0,}$

此处 ${\displaystyle \Delta =\det(A_{33})}$ 。对于椭圆或抛物线，该方程只有一个正根，即其离心率；对于双曲线，其有两个正根，其中的一个为其离心率。

变换为标准方程

对于椭圆或双曲线，${\displaystyle Q}$可用变换后的变量${\displaystyle x',y'}$表示为如下所示的标准形式^[7]

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}}=1,}$

或等价的

${\displaystyle {\frac {x'^{2}}{-S/\lambda _{1}\Delta }}+{\frac {y'^{2}}{-S/\lambda _{2}\Delta }}=1,}$

此处，${\displaystyle \lambda _{1}}$和${\displaystyle \lambda _{2}}$为${\displaystyle A_{33}}$的特征值，也即下述方程的两根：

${\displaystyle \lambda ^{2}-(A+C)\lambda +(AC-(B/2)^{2})=0}$

同时，${\displaystyle S=\det(A_{Q})}$，${\displaystyle \Delta =\lambda _{1}\lambda _{2}=\det(A_{33})}$。

透过座标变换，各种类型的圆锥曲线都可以表示为其标准形式：

方程式	圆	椭圆	抛物线	双曲线
标准方程式	${\displaystyle {x^{2}}+{y^{2}}=a^{2}\ }$	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\ }$	${\displaystyle y^{2}=4ax\,}$	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\ }$
参数方程式	${\displaystyle a\cos \theta ,a\sin \theta \,}$	${\displaystyle a\cos \theta ,b\sin \theta \,}$	${\displaystyle at^{2},2at\,}$	${\displaystyle a\sec \theta ,b\tan \theta \,}$或 ${\displaystyle \pm a\cosh u,b\sinh u\,}$

极坐标

椭圆的半正焦弦

圆锥曲线的半正焦弦（semi-latus rectum）通常指示为${\displaystyle \ell }$，是从单一焦点或两个焦点中的一个，到圆锥曲线自身的，沿着垂直于主轴（长轴）的直线度量的距离。它有关于半长轴${\displaystyle a}$，和半短轴${\displaystyle b}$，通过公式${\displaystyle a\ell =b^{2}\ }$或${\displaystyle \ell =a(1-e^{2})\ }$。

在极坐标系中，圆锥曲线有一个焦点在原点，如果有另一个焦点的话它在正x轴上，给出自方程

${\displaystyle r={\ell \over (1-e\cos \theta )}}$，

或者，

${\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{\ell }}(1-e\cos \theta )}$，

如上，对于${\displaystyle e=0}$得到一个圆，对于${\displaystyle 0<e<1}$得到椭圆，对于${\displaystyle e=1}$得到抛物线，对于${\displaystyle e>1}$得到双曲线。

齐次坐标

在齐次坐标下圆锥曲线可以表示为：

${\displaystyle A_{1}x^{2}+A_{2}y^{2}+A_{3}z^{2}+2B_{1}xy+2B_{2}xz+2B_{3}yz=0\;}$

或表示为矩阵：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0}$

矩阵${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{bmatrix}}}$叫做“圆锥曲线矩阵”。

${\displaystyle \Delta =det(M)={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&B_{2}\\B_{1}&A_{2}&B_{3}\\B_{2}&B_{3}&A_{3}\end{vmatrix}}}$叫做圆锥曲线的行列式。如果${\displaystyle \Delta =0}$则这个圆锥曲线被称为退化的，这意味着圆锥曲线是两个直线的联合（两相交直线，两平行直线或两重合直线）或一点。。

例如，圆锥曲线${\displaystyle {\begin{bmatrix}x&y&z\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=0}$退化为两相交直线：${\displaystyle \{x^{2}-y^{2}=0\}=\{(x+y)(x-y)=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x-y=0\}}$。

类似的，圆锥曲线有时退化为两重合直线（两直线重合成一条）: ${\displaystyle \{x^{2}+2xy+y^{2}=0\}=\{(x+y)^{2}=0\}=\{x+y=0\}\cup \{x+y=0\}=\{x+y=0\}}$。

${\displaystyle \delta ={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}\\B_{1}&A_{2}\end{vmatrix}}}$被称为圆锥曲线的判别式。如果${\displaystyle \delta =0}$则圆锥曲线是抛物线，如果${\displaystyle \delta <0}$则是双曲线，如果${\displaystyle \delta >0}$则是椭圆。如果${\displaystyle \delta >0}$且${\displaystyle A_{1}=A_{2}}$，圆锥曲线是圆；如果${\displaystyle \delta <0}$且${\displaystyle A_{1}=-A_{2}}$，它是直角双曲线。可以证明在复射影平面${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$中，两个圆锥曲线共有四个点（如果考虑重根），所以永不多于4个交点并总有1个交点（可能性：4个不同的交点，2个单一交点和1个双重交点，2个双重交点，1单一交点和1个三重交点，1个四重交点）。如果存在至少一个重根${\displaystyle >1}$的交点，则两个圆锥曲线被称为相切的。如果只有一个四重交点，两个圆锥曲线被称为是共振的。

进一步的，每个直线与每个圆锥曲线相交两次。如果两交点是重合成一点，则这个线被称为切线。因为所有直线交圆锥曲线两次，每个圆锥曲线有两个点在无穷远（与无穷远线的交点）。如果这些点是实数的，圆锥曲线必定是双曲线；如果它们是虚共轭，圆锥曲线必定是椭圆，如果圆锥曲线有双重点在无穷远，则它是抛物线。如果在无穷远的点是${\displaystyle (1,i,0)}$和${\displaystyle (1,-i,0)}$，则圆锥曲线是圆。如果圆锥曲线有一个实数点和一个虚数点在无穷远，或它有两个不共轭的虚数点，它不是抛物线、不是椭圆、不是双曲线。

参考文献

1. Brannan, Esplen & Gray 1999，第30页 harvnb error: no target: CITEREFBrannanEsplenGray1999 (help)
2. Protter & Morrey 1970，第326页 harvnb error: no target: CITEREFProtterMorrey1970 (help)
3. Wilson & Tracey 1925，第153页 harvnb error: no target: CITEREFWilsonTracey1925 (help)
4. Pettofrezzo, Anthony, Matrices and Transformations, Dover Publ., 1966, p. 110.
5. Spain, Barry, Analytical Conics, Dover, 2007 (originally published 1957 by Pergamon Press).
6. Ayoub, Ayoub B., "The eccentricity of a conic section," The College Mathematics Journal 34(2), March 2003, 116–121.
7. Ayoub, A. B., "The central conic sections revisited", Mathematics Magazine 66(5), 1993, 322–325.

外部链接

• Conic sections（页面存档备份，存于互联网档案馆） at Special plane curves（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• 埃里克·韦斯坦因. Conic Section. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Conic Section Directrix. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Focus. MathWorld.
• Determinants and Conic Section Curves
• Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.