十三面体

在几何学中，十三面体（英语：Tridecahedron^[1]）是指由十三个面组成的多面体。十三面体有许多不同的拓朴形式，例如十一角柱、十二角锥，但不包含正多面体，因为找不到一个正多边形可以组成正十三面体，正多面体只有五个^{[注 1][2]}。

十三面体

部分的十三面体
空间填充十三面体	六角锥柱
十一角柱	四角锥反角柱

在凸十三面体中已知有177种结构属于自身对偶多面体^{[注 2][3]}、另外有96,262,938种不同拓朴结构的十三面体具有至少9个顶点^[4]，不同的拓扑结构，即他们面和顶点有不同的安排方式，使得其无法单靠扭曲或简单地通过改变边或面之间的长度或角度变换成另一种多面体的多面体。

若不考虑规律性、对称性或面是否为正多边形或有无特殊性质的话，则十三面体有无限多种，例如：截一角十二面体、五角化一面截两角立方体^{[注 3]}等各种产生十三个面的组合，以此类推^{[注 4]}。

常见的十三面体

常见的凸十三面体有六角锥柱、四角锥反角柱、二侧锥五角柱、侧锥六角柱的对偶、十一角柱、十二角锥和十一角锥台等，而非严格凸的十三面体则有十三面形等立体。

十一角柱

正十一角柱

十一角柱是一种底面为十一边形的柱体，是十三面体的一种，其由13个面、22个顶点和33个边组成。正十一角柱代表每个面都是正多边形的十一角柱，其每个顶点都是2个正方形和1个十一边形的公共顶点，顶点图以${\displaystyle 4{.}4{.}11}$表示，在施莱夫利符号中可以利用{11}×{} 或 t{2, 11}来表示；在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以利用来表示；在威佐夫符号（英语：Wythoff symbol）中可以利用2 11 | 2来表示；在康威多面体表示法中可以利用P11来表示。若一个正十一角柱底边的边长为${\displaystyle s}$、高为${\displaystyle h}$，则其体积${\displaystyle V}$和表面积${\displaystyle S}$为^[5]：

${\displaystyle V={\frac {11hs^{2}\cot {\frac {\pi }{11}}}{4}}\approx 9.36564hs^{2}}$

${\displaystyle S=11s\left(h+{\frac {1}{2}}s\cot {\frac {\pi }{11}}\right)\approx 11s\left(h+1.70284s\right)}$

十二角锥

十二角锥

十二角锥是一种底面为十二边形的锥体，是十三面体的一种，其具有13个面、24条边和13个顶点，其对偶多面体是自己本身^[6]。正十二角锥是一种底面为正十二边形的十二角锥。若一个正十二角锥底边的边长为${\displaystyle s}$、高为${\displaystyle h}$，则其体积${\displaystyle V}$和表面积${\displaystyle S}$为^[6]：

${\displaystyle V=\left(2+{\sqrt {3}}\right)hs^{2}\approx 3.73205hs^{2}}$

${\displaystyle S=3s\left({\sqrt {4h^{2}+\left(7+4{\sqrt {3}}\right)s^{2}}}+\left(2+{\sqrt {3}}\right)s\right)\approx 3s\left({\sqrt {4h^{2}+13.9282s^{2}}}+3.73205s\right)}$

二侧锥五角柱

二侧锥五角柱是指在五角柱的两个四边形侧面上各叠上一个四角锥所构成的几何体。

二侧锥五角柱可以分成两种，一种是叠上两个四角锥相隔一个侧面面，称为间二侧锥五角柱；另一种是叠上一个四角锥位于五角柱上两相邻的四边形侧面上，称为邻二侧锥五角柱。其中，间二侧锥五角柱是一种詹森多面体。^[7]通常加入的位置能分成三种情况：“邻”、“间”和“对”，其中“对”代表加入在相对的位置上，但“对二侧锥五角柱”不存在，因为五角柱的侧面没有相对的面（五角柱中，与侧面相对的元素是一条棱）。

• 
  邻二侧锥五角柱
• 
  间二侧锥五角柱

十三面体列表

名称 (顶点布局)	符号	立体图	展开图	面		边	顶点	对偶
十一角柱	t{2,11} {11}x{}			13	正方形×11 十一边形×2	33	22	双十一角锥
十二角锥	( )∨{12}			13	三角形×12 十二边形×1	24	13	自身对偶
六角锥柱				13	三角形×6 正方形×6 六边形×1	24	13	自身对偶
六角锥台锥				13	三角形×6 梯形×6 六边形×1	24	13
空间填充十三面体				13	四边形×6 五边形×6 六边形×1	30	19
四角锥反角柱				13	三角形×12 正方形×1	20	9	截顶角四方偏方面体
截顶角六方偏方面体				13	1个六边形底面 6个五边形侧面 6个筝形侧面	30	19	六角锥反角柱
间二侧锥五角柱				13	三角形×8 正方形×3 五边形×2	23	12
邻二侧锥五角柱				13	三角形×8 正方形×3 五边形×2	23	12

空间填充十三面体

空间填充十三面体

类别	空间填充多面体
对偶多面体	空间填充十三面体对偶
性质
面	13
边	30
顶点	19
欧拉特征数	F=13, E=30, V=19 （χ=2）
组成与布局
面的种类	6个近似梯形 6个五边形 1个正六边形
查 论 编

空间填充十三面体（英语：Space-filling tridecahedron^[8][9]）是一种能够完全堆满三维空间而不留空隙的一种十三面体，具有13个面、30条边和19个顶点。十三个面中，有六个梯形、六个五边形和一个为正六边形^[10]。

空间填充十三面体的对偶多面体

其多面体的对偶多面体是一个十九面体，类似扭棱半立方体，但是其中一个顶点再进行扭棱操作前被视为一个面。

	图像	旋转动画	展开图
原本的多面体 13面体
对偶多面体 19面体

空间填充十三面体堆砌

空间填充十三面体堆砌
类型	等面堆砌
性质
胞	十三面体 棱处相交胞：3x十三面体 顶点处相交胞：4x十三面体
面	近似梯形{4} 五边形{5} 正六边形{6} 棱处相交面：3：3x{4}、{4}+2x{5}、{4}+{5}+{6} 顶点处相交面：6：2x{4}+3x{5}+{6}
边	∞ 顶点处相交棱：4
查 论 编

空间填充十三面体堆砌是三维空间内的一种均匀密铺，由空间填充十三面体组成，也可以被看做是四维空间中的无限胞体，每个胞都是一个空间填充十三面体。在这个堆砌中，这些多面体胞的质心形成点集可以包含在一种由两种菱形组成的6配位镶嵌图中^[10]。

棱处相交胞

该堆砌的棱处相交胞为三个空间填充十三面体，顶点处相交面胞为四个空间填充十三面体。

棱处相交面

其棱处相交面皆为三个多边形，对梯形而言，两个底边的棱处相交面为一个梯形和两个五边形，斜侧边的棱处相交面为三个四边形，另外一个侧边的棱处相交面为一个梯形和两个五边形。对五边形而言，底边、两个顶角侧边和其中一个下方侧边的棱处相交面也皆为一个梯形和两个五边形，另一个下方侧边的棱处相交面是四边形、五边形、六边形。对正六边形而言，棱处相交面皆为四边形、五边形、六边形。

顶点处相交面与顶点处相交棱

顶点处相交面为6个多边形，包含两个梯形、三个五边形以及一个六边形。顶点处相交棱则有4条。

参见

• 十三边形：在多胞形中有相同的“胞”数（13），但是低了一个维度（二维）
• 多面体

注释

1. 即使存在有十三个面皆全等的十三面体，但它们仍然不能算是正多面体。正多面体除了每个面都全等之外每个面上的角与边必须要等大，唯有正多边形符合此条件，但这种十三面体的面不会是正多边形。
2. 即对偶多面体为自己本身的多面体
3. 将立方体截去两个角，再将截完的结果中的其中一个五边形面加上五角锥
4. 有无限多种能产生十三面的组合

参考文献

1. What Are Polyhedra?, with Greek Numerical Prefixes
2. proof of platonic solids （页面存档备份，存于互联网档案馆） mathsisfun.com [2016-1-10]
3. Self Dual Tridecahedron （页面存档备份，存于互联网档案馆） dmccooey.com [2016-1-10]
4. Counting polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） numericana.com [2016-1-10]
5. Wolfram, Stephen. "Hendecagon prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
6. Wolfram, Stephen. "Dodecagon pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
7. Weisstein, Eric W. (编). Biaugmented Pentagonal Prism. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
8. Oblate Rhombohedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） science.unitn.it [2016-1-10]
9. Virtual Polyhedra, Greek Numerical Prefixes （页面存档备份，存于互联网档案馆）, 1996, George W. Hart, georgehart.com [2016-1-10]
10. A space-filling polyhedron with 13 faces （页面存档备份，存于互联网档案馆） science.unitn.it [2016-1-10]