锥台

棱台是几何学中研究的一类多面体，指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体。截面也称为棱台的上底面，原来棱锥的底面称为下底面。随着棱锥形状不同，棱台的称呼也不相同，依底面多边形而定，例如底面是正方形的棱台称为方棱台，底面为三角形的棱台称为三棱台，底面为五边形的棱台称为五棱台等等。棱台是平截头体的一类，也是更广义的拟柱体的一种。根据所截的是圆锥还是棱锥，可分为圆台与棱台。

锥台

例如：五角锥台与四角锥台
类别	锥台
对偶多面体	不对称双锥体
性质
面	${\displaystyle {{n}+{2}}}$
边	${\displaystyle {{3}\,{n}}}$
顶点	${\displaystyle {{2}\,{n}}}$
欧拉特征数	F=${\displaystyle {{n}+{2}}}$, E=${\displaystyle {{3}\,{n}}}$, V=${\displaystyle {{2}\,{n}}}$ （χ=2）
组成与布局
面的种类	n 个梯形, 2 个n边形
对称性
对称群	Cnv, [1,n], (*nn)
特性
凸多面体
图像
不对称双锥体 （对偶多面体） （展开图）
注：${\displaystyle n}$为底面边数 。
查 论 编

从棱台的定义可以推知，一个以n边形为底面的棱台，一共有2n个顶点，n+2个面以及3n条边。棱台的对偶多面体是双锥。棱台的对称性取决于原来棱锥。如果原来的棱锥是正棱锥，那么棱台和正多边形有相同的对称结构（同构的对称群）。

性质

体积

棱台的体积取决于两底面之间的距离（棱台的高），以及原来棱锥的体积。设${\displaystyle h}$为棱台的高，${\displaystyle S_{u}}$和${\displaystyle S_{d}}$为棱台的上下底面积，${\displaystyle V}$ 为棱台的体积。由于棱台是由一个平面截去棱锥的一部分（也就是和原来棱锥相似的一个小棱锥）得到，所以计算体积的时候，可以先算出原来棱锥的体积，再减去和它相似的小棱锥的体积。棱锥被平行于底面的平面所截时，截面的面积与底面面积的比，等于小棱锥和原棱锥的高的比的平方。假设原棱锥的高是${\displaystyle H}$，那么小棱锥的高是${\displaystyle H-h}$。也就是说：

${\displaystyle {\frac {H-h}{H}}={\sqrt {\frac {S_{u}}{S_{d}}}}}$

所以：

${\displaystyle H={\frac {h{\sqrt {S_{d}}}}{{\sqrt {S_{d}}}-{\sqrt {S_{u}}}}}}$

棱台的体积等于原棱锥体积减去小棱锥的体积：

${\displaystyle V={\frac {S_{d}H}{3}}-{\frac {S_{u}(H-h)}{3}}={\frac {(S_{d}{\sqrt {S_{d}}}-S_{u}{\sqrt {S_{u}}})h}{3({\sqrt {S_{d}}}-{\sqrt {S_{u}}})}}={\frac {h}{3}}\left(S_{d}+S_{u}+{\sqrt {S_{d}}}{\sqrt {S_{u}}}\right)}$

对于正棱锥，假设它的底面是正n边形，边长分别为a和b，高是h，那么底面积是：${\displaystyle S_{u}={\frac {na^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}},\quad S_{u}={\frac {nb^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}.}$ 所以它的体积是：

${\displaystyle V={\frac {n(a^{2}+b^{2}+ab)h}{12}}\cot {\frac {\pi }{n}}.}$

表面积

棱台的侧面展开图是由各个梯形侧面组成的，展开图的面积，就是各个侧面的面积之和，也就是原棱锥的侧面积减去小棱锥的侧面积S_c

${\displaystyle S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}}$，其中${\displaystyle S_{i},i=1,2\cdots ,n}$是第 i 个侧面的面积。

棱台的表面积等于棱台的侧面积S_c加上底面积S。假设各个梯形侧面的高是h_i，底边的长度是a_i和b_i，那么棱锥的侧面积：

${\displaystyle S_{c}=\sum _{i=1}^{n}S_{i}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(a_{i}+b_{i})h_{i}.}$

体积公式

棱台或圆台的体积是原立体图形的体积减去被截去部分的体积：

${\displaystyle V={\frac {h_{2}B_{2}-h_{1}B_{1}}{3}}}$

B₁ 指一个底面的面积，B₂指另一个底面的面积, and h₁， h₂ 指原顶点分别到两底面的面积。 考虑到

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}}$

这个体积也可用平截头体的高 h = h₂−h₁ 与两底面面积的希罗平均数表达：

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}(B_{1}+B_{2}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}})}$

亚历山大里亚的希罗 推导出了这个公式并且凭借它遇到了虚数。^[1]

特别地， 圆台的体积是

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}(R_{1}^{2}+R_{2}^{2}+R_{1}R_{2})}$

π 等于 3.14159265...，'R₁, R₂ 是两底面的半径。

Pyramidal frustum.

底面为n边形的棱台的体积是

${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{1}a_{2})\cot {\frac {180}{n}}}$

a₁ 与 a₂ 是底面的边长。

表面积公式

对于一个正圆台，^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Lateral Surface Area}}&=\pi (R_{1}+R_{2})s\\&=\pi (R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total Surface Area}}&=\pi \left[(R_{1}+R_{2})s+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right]\\&=\pi \left[(R_{1}+R_{2}){\sqrt {(R_{1}-R_{2})^{2}+h^{2}}}+R_{1}^{2}+R_{2}^{2}\right]\end{aligned}}}$

Lateral Surface Area指侧面积，Total Surface Area指总面积，R₁ and R₂ 为底面半径，s 为平截头体的斜高。 一个底面为正n边形的正棱台的表面积是

${\displaystyle A={\frac {n}{4}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {(a_{1}^{2}-a_{2}^{2})^{2}\sec ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}(a_{1}+a_{2})^{2}}}\right]}$

a₁ 与 a₂是两底面的边长。

参见

• 金字塔：某些金字塔是棱台状建筑，大部分是四棱台；
• 圆台：平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面和底面之间的部分；
• 棱锥：多边形的各个顶点与平面外一点相连得到的几何体。
• 双锥台
• 锥体

参考资料

1. Nahin, Paul. "An Imaginary Tale: The story of the square root of minus one." Princeton University Press. 1998
2. Mathwords.com: Frustum. [17 July 2011]. （原始内容存档于2021-01-26）.

链接

• Derivation of formula for the volume of frustums of pyramid and cone (Mathalino.com)
• 埃里克·韦斯坦因. Pyramidal frustum. MathWorld.
• 埃里克·韦斯坦因. Conical frustum. MathWorld.
• Paper models of frustums (truncated pyramids) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Paper model of frustum (truncated cone) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Design paper models of conical frustum (truncated cones) （页面存档备份，存于互联网档案馆）