在电磁学里,电磁波方程(英语:Electromagnetic wave equation)乃是描述电磁波传播于介质或真空的二阶微分方程。电磁波的波源是局域化的含时电荷密度和电流密度,假若波源为零,则电磁波方程约化为二阶齐次微分方程。这方程的形式,以电场
和磁场
来表达为
、
;
其中,
是拉普拉斯算符,
是电磁波在真空或介质中传播的速度,
是时间。
由于光波就是电磁波,
也是光波传播的速度,称为光速。在真空里,
[米/秒],是电磁波传播于自由空间的速度。
历史
在詹姆斯·麦克斯韦的1864年论文《电磁场的动力学理论》内,麦克斯韦将位移电流与其它已成立的电磁方程合并,因而得到了描述电磁波的波动方程。最令人振奋的是,这方程所描述的波动的波速等于光波的速度。他这样说[1]
:
这些殊途一致的结果,似乎意味着光波与电磁波都是同样物质的属性,并且,光波是按照着电磁定律传播于电磁场的电磁扰动。
— 詹姆斯·麦克斯韦
理论推导
在真空里,麦克斯韦方程组的四个微分方程为
、(1)
、(2)
、(3)
;(4)
其中,
是真空磁导率,
是真空电容率。
分别取公式(2)、(4)的旋度,
、
。
应用一则向量恒等式(这里,
应被理解为对V的每个分量取拉普拉斯算子,即拉普拉斯–德拉姆算子)
;
其中,
是任意向量函数。
将公式(1)、(3)代入,即可得到亥姆霍兹方程形式的波动方程:
、(5)
;(6)
其中,
[米/秒]是电磁波传播于自由空间的速度。
齐次的波动方程的协变形式
电磁四维势
是由电势
与矢量势
共同形成的,定义为
。
采用洛伦茨规范:
。
前述那些齐次的波动方程(5)、(6),可以按照反变形式写为
;
其中,
是达朗贝尔算子,又称为四维拉普拉斯算子。
弯曲时空中的齐次的波动方程
齐次的电磁波方程在弯曲时空中需要做两处修正,分别是将偏导数替换为协变导数,以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为
。
那么,弯曲时空中的齐次的波动方程为
;
其中,
是里奇曲率张量。
非齐次的电磁波方程
追根究底,局域化的含时电荷密度和电流密度是电磁波的波源。在有波源的情形下,麦克斯韦方程组可以写成一个非齐次的电磁波方程的形式。正是因为波源的存在,使得偏微分方程变为非齐次。
波动方程的解
在齐次的电磁波方程中,电场和磁场的每一个分量都满足标量波动方程
;(7)
其中,
是任意良态函数,
标量波动方程的一般解的形式为
;
其中,
是任意良态函数,
是位置向量,
是时间,
是波矢,
是角频率。
函数
描述一个波动,随着时间的演化,朝着
的方向传播于空间。将函数
代入标量波动方程(7),可得到角频率与波数的色散关系:
,
或者,角频率一定大于零,但波数可以是负值:
。
正弦波
正弦函数和余弦函数的曲线是不同相位的正弦曲线。
假设,函数
的波形为正弦波:
;
其中,
是实值波幅,
是初相位。
根据欧拉公式,
,
函数
也可以表达为一个复数的实值部分
。
以上方加有波浪号的符号来标记复值变数。设定复值函数
为
;
其中,
是复值波幅。
那么,
;
标量波动方程的正弦波解的形式为
的实值部分。任意涉及实函数
的线性方程,都可以用复函数
来代替
。最后得到的复值答案,只要取实值部分,就可以得到描述实际物理的答案。但是,当遇到非线性方程,必须先转换为实值函数,才能够确保答案的正确性。
由于指数函数比三角函数容易计算,在很多场合,都可以使用这技巧。
线性叠加
任意波动
可以表达为一个无限集合的不同频率的正弦波的线性叠加:
。
所以,只要能得知单独频率的波动
(单色波)的表达式,就可以求算整个波动
的表达式。
齐次的电磁波方程的解
单色正弦平面波的解
电磁波是横波,电场方向与磁场方向相互垂直,又都垂直于传播方向。
主条目:电磁波方程的单色正弦平面波解
从前面的分析,可以猜到齐次的电磁波方程的单色正弦平面波的解为:
、
;
其中,
、
分别为复值电场
和复值磁场
的复常数振幅向量。
这两个方程显示出正弦平面波的传播方向是
的方向。由于方程(1)和(3),
、
,
电场和磁场垂直于波矢,波动传播的方向。所以,电磁波是横波。
由于法拉第电磁感应定律方程(2),
。
将角频率与波数的色散关系式
带入:
。
所以,电场与磁场相互垂直于对方;磁场的大小等于电场的大小除以光速。
电磁波谱分解
电磁波谱显示出不同种类的电磁波的频率值域和波长值域。可见光谱只占有宽广的电磁波谱的一小部分。
由于麦克斯韦方程组在真空里的线性性质,其解答可以分解为一集合的正弦波。将这集合的正弦波的叠加在一起,又可以形成原本的解答。这是傅里叶变换方法解析微分方程的基础概念。电磁波方程的正弦波解的形式为
、
。
波矢与角频率的关系为
;
其中,
是波长。
按照波长长短,从长波开始,电磁波可以分类为电能、无线电波、微波、红外线、可见光、紫外线、X-射线和伽马射线等等。普通实验使用的光谱仪就足以分析从2 奈米到2500 奈米波长的电磁波。使用这种仪器,可以得知物体、气体或甚至恒星的详细物理性质。这是天文物理学的必备仪器。例如,氢原子会发射波长为21.12公分的无线电波。
圆柱对称性解
原柱对称形共轴传输线
如图右,思考一条由半径为
的无穷长的直导线,和半径为
的无穷长的圆柱导电管,所组成的共轴传输线。假设这传输线与z-轴平行。由于共轴传输线的内部有一条直导线,不是空心的,它可以传输
和
的电磁横波,采用圆柱坐标
,在传输线的内部空间,电场和磁场分别为[2]
、
。
这一组方程显示出电磁波方程的圆柱对称性解的一种形式。
球对称性解
思考一个位于原点的振荡中的磁偶极矩
。这磁偶极矩会发射出电磁波,从原点往无穷远辐射出去。采用球坐标
,则在离原点很远的位置
,电场和磁场分别为[2]
、
。
这是一组满足电磁波方程的球面波方程。
参阅
理论与实验
应用领域
参考文献
Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 411–412, 451–453. ISBN 0-13-805326-X.
- Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0810-8.
- Jackson, John D. Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. 1998. ISBN 0-471-30932-X.
- Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.
- Maxwell, James C. A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. 1954. ISBN 0-486-60637-6.