球对称位势乃是一种只与径向距离有关的位势。许多描述宇宙相互作用的基本位势,像重力势电势,都是球对称位势。这条目只讲述,在量子力学里,运动于球对称位势中的粒子的量子行为。这量子行为,可以用薛定谔方程表达为

其中,普朗克常数是粒子的质量是粒子的波函数位势是径向距离,能量

由于球对称位势只与径向距离有关,与天顶角、方位角无关,为了便利分析,可以采用球坐标来表达这问题的薛定谔方程。然后,使用分离变数法,可以将薛定谔方程分为两部分,径向部分与角部分。

薛定谔方程

采用球坐标,将拉普拉斯算子展开:

满足薛定谔方程的本征函数的形式为:

其中,,都是函数。时常会合并为一个函数,称为球谐函数。这样,本征函数的形式变为:

角部分解答

参数为天顶角、方位角的球谐函数,满足角部分方程

其中,非负整数角动量角量子数(满足)是角动量对于z-轴的(量子化的)投影。不同的给予不同的球谐函数解答

其中,虚数单位伴随勒让德多项式,用方程定义为

勒让德多项式,可用罗德里格公式表示为

径向部分解答

将角部分解答代入薛定谔方程,则可得到一个一维的二阶微分方程:

(1)

设定函数。代入方程(1)。经过一番繁杂的运算,可以得到

(2)

径向方程变为

(3)

其中,有效位势

这正是函数为,有效位势为的薛定谔方程。径向距离的定义域是从。新加入有效位势的项目,称为离心位势

为了要更进一步解析方程(2),必须知道位势的形式。不同的位势有不同的解答。

实例

在这里,有四个很特别、很重要的实例。这些实例都有一个共同点,那就是,它们的位势都是球对称的。因此,它们的角部分解答都是球谐函数。这四个实例是:

  1. :原方程变为亥姆霍兹方程,使用球谐函数为正交归一基,解析真空状况实例。这实例可以做为别的实例的基础。
  2. 时,;否则,:这实例比第一个实例复杂一点,可以描述三维的圆球形盒子中的粒子的量子行为。
  3. :研讨三维均向性谐振子的实例。在量子力学里,是少数几个存在简单的解析解的量子模型。
  4. :关于类氢原子束缚态的实例,也有简单的解析解。

真空状况实例

思考的状况,设定,在设定无量纲的变数

代入方程(2),定义,就会得到贝塞尔方程,一个二阶常微分方程

贝塞尔方程的解答是第一类贝塞尔函数;而是第一类球贝塞尔函数
(真空解的边界条件要求原点的函数值有限,因此在原点趋于无穷的第二类球贝塞尔函数项的系数必须为零):

(4)

在真空里,一个粒子的薛定谔方程(即自由空间中的齐次亥姆霍兹方程)的解,以球坐标来表达,是球贝塞尔函数与球谐函数的乘积:

其中,归一常数是非负整数,是整数,是实数,

这些解答都是角动量确定态的波函数。这些确定态都有明确的角动量。

波函数归一化导引

波函数的角部分已经归一化,剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为

根据球贝塞尔函数的封闭方程

其中,克罗内克δ

所以,。取平方根,归一常数

球对称的三维无限深方形位势阱

Thumb
球贝塞尔函数

思考一个球对称的无限深方形阱,阱内位势为0,阱外位势为无限大。用方程表达:

其中,是球对称阱的半径。

立刻,可以察觉,阱外的波函数是0;而由于阱内的薛定谔方程与真空状况的薛定谔方程相同,波函数是球贝塞尔函数。为了满足边界条件,波函数必须是连续的。匹配阱内与阱外的波函数,球贝塞尔函数在径向坐标之处必须等于0:

设定阶球贝塞尔函数的第个0点,则

那么,离散的能级

薛定谔方程的整个解答是

其中,归一常数

波函数归一化导引

波函数的角部分已经归一化,剩下来必须将径向部分归一化。径向函数的归一化条件为

将球贝塞尔函数与第一类贝塞尔函数的关系方程(4)代入积分:

设定变数,代入积分:

根据贝塞尔函数的正交归一性方程

其中,克罗内克δ表示的第个0点。

注意到的第个0点也是的第个0点。所以,

取平方根,归一常数

三维均向谐振子

三维均向谐振子的位势为

其中,角频率

阶梯算符的方法,可以证明N维谐振子的能量是

所以,三维均向谐振子的径向薛定谔方程是

(5)

设定常数

回想,则径向薛定谔方程有一个归一化的解答:

其中,函数广义拉盖尔多项式是归一化常数:

本征能级的本征函数,乘以球谐函数,就是薛定谔方程的整个解答:

其中。假若是偶数,设定;否则,设定

导引

在这导引里,径向方程会被转换为广义拉盖尔微分方程。这方程的解是广义拉盖尔多项式。再将广义拉盖尔多项式归一化以后,就是所要的答案。

首先,将径向坐标无量纲化,设定变数;其中,。则方程(5)变为

(6)

其中,是新的函数。

接近0时,方程(6)最显著的项目是

所以,成正比。

又当无穷远时,方程(6)最显著的项目是

因此,成正比。

为了除去在原点与无穷远的极限性态,达到孤立解答函数的形式的目的,必须使用的替换方程:

经过一番运算,这个替换将微分方程(6)转换为

(7)
转换为广义拉盖尔方程

设定变数,则微分算子为

代入方程(7),就可得到广义拉盖尔方程:

其中,函数

假若,是一个非负整数,则广义拉盖尔方程的解答是广义拉盖尔多项式:

因为是非负整数,要求

  1. 同时为奇数或同时为偶数。这证明了前面所述必须遵守的条件。
波函数归一化

回忆到,径向函数可以表达为

其中,是归一常数。

的归一条件是

设定。将代入积分方程:

应用广义拉盖尔多项式的正交归一性,这方程简化为

因此,归一常数可以表达为

应用伽马函数的数学特性,同时注意的奇偶性相同,可以导引出其它形式的归一常数。伽马函数变为

在这里用到了双阶乘 (double factorial)的定义。

所以,归一常数等于

类氢原子

类氢原子只含有一个原子核与一个电子,是个简单的二体系统。两个物体之间,互相作用的位势遵守库仑定律

其中,真空电容率原子序单位电荷量是电子离原子核的径向距离。

将位势代入方程(1),

这方程的解答是

其中,近似于玻尔半径。假若,原子核的质量是无限大的,则,并且,约化质量等于电子的质量,是广义拉盖尔多项式,定义为[1]

其中,拉盖尔多项式,可用罗德里格公式表示为

为了满足的边界条件,必须是正值整数,能量也离散为能级。随着量子数的不同,函数都会有对应的改变。为了要结束广义拉盖尔多项式的递回关系,必须要求

知道径向函数与球谐函数的形式,就可以写出整个类氢原子量子态的波函数,也就是薛定谔方程的整个解答:

导引

为了要简化薛定谔方程,设定能量与长度的原子单位 (atomic unit)

将变数代入径向薛定谔方程(2):

(8)

这方程有两类解答:

  1. :量子态是束缚态,其本征函数是平方可积函数。量子化的造成了离散的能量谱。
  2. :量子态是散射态,其本征函数不是平方可积函数。

这条目只讲述第(1)类解答。设定正实数。代入方程(8):

(9)

接近0时,方程(9)最显著的项目是

所以,成正比。

又当无穷远时,方程(9)最显著的项目是

因此,成正比。

为了除去在原点与无穷远的极限性态,达到孤立解答函数的形式的目的,必须使用的替换方程:

经过一番运算,得到的方程:

其中,

假若,是个非负整数 ,则这方程的解答是广义拉盖尔多项式

采用Abramowitz and Stegun的惯例[1]。无量纲的能量是

其中,主量子数满足,或

由于,径向波函数是

能量是

参阅

参考文献

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