扭棱小星形十二面体
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在几何学中,扭棱小星形十二面体是一种星形均匀多面体,索引为U40,由60个三角形面、12个正五边形面和12个正五角星面组成[4][5],且有12组正五边形面和正五角星面互相平行[6]:174,为小星形十二面体经扭棱变换后的结果,具有二十面体群对称性[4][7][8][3]。 扭棱小星形十二面体的对偶多面体为中五角六十面体(英语:Medial pentagonal hexecontahedron)[2],并与反扭棱小星形十二面体拓朴同构[9]。
性质
类别 | 均匀星形多面体 | |||
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对偶多面体 | 中五角六十面体(英语:Medial pentagonal hexecontahedron) | |||
识别 | ||||
名称 | 扭棱小星形十二面体 Snub dodecadodecahedron | |||
参考索引 | U40, C49, W111 | |||
鲍尔斯缩写 (verse-and-dimensions的wikia:Bowers acronym) | siddid | |||
数学表示法 | ||||
考克斯特符号 (英语:Coxeter-Dynkin diagram) | [1] | |||
施莱夫利符号 | sr{5⁄2,5} | |||
威佐夫符号 (英语:Wythoff symbol) | | 2 5⁄2 5[2][3] | |||
性质 | ||||
面 | 84 | |||
边 | 150 | |||
顶点 | 60 | |||
欧拉特征数 | F=84, E=150, V=60 (χ=-6) | |||
组成与布局 | ||||
面的种类 | 20个正三角形 12个正五边形 12个正五角星 | |||
顶点图 | 3.3.5⁄2.3.5 | |||
对称性 | ||||
对称群 | Ih, [5,3]+, 532 | |||
图像 | ||||
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扭棱小星形十二面体一共有84个面、150条边和60个顶点[3]。在其84个面中,有60个正三角形面、12个正五边形面和12个五角星面[4][5],换句话说,具有3条边的面共60个且具有5条边的面共24个[10]。其12个正五边形面和12个五角星面中,有12组正五边形面和五角星面互相平行,这与截半大十二面体非常类似。[6]:174其60个顶点每个顶点都是1个十角星、1个五角星和3个三角形的公共顶点,并且这些面在顶都周围皆是依照五角星、三角形、五边形、三角形、三角形和三角形的顺序排列,在顶点图中可以用(5⁄2,3,5,3,3)[11]或(3.3.5⁄2.3.5)[4]来表示。
表示法
扭棱小星形十二面体在考克斯特—迪肯符号(英语:Coxeter-Dynkin diagram)中可以表示为(s5⁄2s5s)[1],在施莱夫利符号中可以表示为sr{5⁄2,5},在威佐夫记号中可以表示为| 2 5⁄2 5。[2][3][12][13][4][10][5]
尺寸
若扭棱小星形十二面体的边常为单位长,则其外接球半径为多项式之较大正实根(约为1.6242)的平方根[8],约为1.27443994[14]:
顶点座标
- (±2α, ±2, ±2β),
- (±(α+β/τ+τ), ±(-ατ+β+1/τ), ±(α/τ+βτ-1))、
- (±(-α/τ+βτ+1), ±(-α+β/τ-τ), ±(ατ+β-1/τ))、
- (±(-α/τ+βτ-1), ±(α-β/τ-τ), ±(ατ+β+1/τ)) 与
- (±(α+β/τ-τ), ±(ατ-β+1/τ), ±(α/τ+βτ+1)),
带有偶数个正号,其中
- β = (α2/τ+τ)/(ατ−1/τ),
当中的 τ = (1+√5)/2为黄金比例且 α是多项式τα4−α3+2α2−α−1/τ的正实根,约为0.7964421。 若上述座标使用奇置换并带有奇数个正号的话,则会得到扭棱小星形十二面体的另一种形式,即另一种形式的对映体。
参见
- 均匀多面体列表(英语:List_of_uniform_polyhedra)
- 反扭棱小星形十二面体
参考文献
- Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. (原始内容存档于2018-07-07).
- Weisstein, Eric W. (编). Snub Dodecadodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语).
- Roman E. Maeder. 40: snub dodecadodecahedron. mathconsult.ch. [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-08-14).
- Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #45, snub dodecadodecahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-08-14).
- Robert Whittaker. The Snub Dodecadodecahedron. polyhedra.mathmos.net. [2022-08-14]. (原始内容存档于2021-09-22).
- Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. (原始内容存档于2021-08-31).
- Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). 2004-10 [2022-08-14]. (原始内容存档于2014-04-02).
- David I. McCooey. Self-Intersecting Snub Quasi-Regular Polyhedra: Snub Dodecadodecahedron. [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-02-14).
- Richard Klitzing. siddid, snub dodecadodecahedron. bendwavy.org. [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-08-17).
- V.Bulatov. snub dodecadodecahedron. [2022-08-14]. (原始内容存档于2021-02-28).
- Jim McNeill. Augmenting the snub dodecadodecahedron. orchidpalms.com. [2022-08-14]. (原始内容存档于2016-03-06).
- George W. Hart. Uniform Polyhedra --- List. 1996 [2022-08-14]. (原始内容存档于2018-09-19).
- Adrian Rossiter. snub dodecadodecahedron. antiprism.com. [2022-08-14]. (原始内容存档于2022-08-14).
- Eric W. Weisstein. Snub Dodecadodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-26 [2022-08-14]. (原始内容存档于2021-12-07).