截角大二十面体

在几何学中，截角大二十面体又称为大截角二十面体^[1]是一种由五角星和六边形构成的星形多面体，具有二十面体群的对称性，其结构可由大二十面体透过截角变换构造而得，其索引编号在马德尔的文献中为U₅₅、考克斯特的论文为C₇₁、温尼尔的《多面体模型》中为W₉₅。

截角大二十面体

类别	星形均匀多面体
对偶多面体	大星形五角化十二面体
识别
名称	截角大二十面体
参考索引	U55, C71, W95
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	tiggy
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	t{3,5/2} t0,1{3,5/2}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	2 5/2 | 3 2 5/3 | 3
性质
面	32
边	90
顶点	60
欧拉特征数	F=32, E=90, V=60 （χ=2）
组成与布局
面的种类	12个五角星{5/2} 20个正六边形{6}
面的布局 （英语：Face configuration）	12{5/2}+20{6}
顶点图	6.6.5/2
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
6.6.5/2 （顶点图） 大星形五角化十二面体 （对偶多面体）
查 论 编

截角大二十面体的对偶多面体是大星形五角化十二面体^[2]。

性质

截角大二十面体共由32个面、90条边和60个顶点组成^[3]。其32个面由12个五角星和20个正六边形组成，每个顶点都是2个六边形和1个五角星的公共顶点，其顶点图可以以6.6.5.2表示。

截角大二十面体可以视为由大二十面体透过截角变换构造而得，因此在施莱夫利符号中可以用t{3,⁵/₂} 来表示，其中t代表截角变换，{3,⁵/₂} 表示大二十面体。在考克斯特记号中也可以用来表示。在截角的过程中，将大二十面体的12个顶点截去，产生12个五角星，而原本的三角形面也因此变成了六边形。

顶点座标

几何中心位于原点的边长为1单位长截角大二十面体其顶点座标为：

(±1, 0, ±3/τ)

(±2, ±1/τ, ±1/τ³)

(±(1+1/τ²), ±1, ±2/τ)

其中，τ为黄金比例。截角大二十面体所有顶点皆位于一个球面上。

二面角

截角大二十面体有两种二面角^[4]，分别为六边形-六边形二面角和六边形-五角星二面角。

其中，六边形-六边形二面角为五平方根三分之一的反余弦值^[5]：

${\displaystyle \cos ^{-1}{({\frac {\sqrt {5}}{3}})}\approx 0.72973\approx 41.81031^{\circ }}$

相关多面体

名称	大星形十二面体	截角大星形十二面体	大截半二十面体	截角大二十面体	大二十面体
考式（英语：Coxeter-Dynkin digram）
图像

对偶复合体

截角大二十面体与其对偶的复合体为复合截角大二十面体大星形五角化十二面体。其共有92个面、180条边和92个顶点，其尤拉示性数为4，亏格为-1，有12个非凸面^[6]。

参见

• 大二十面体

参考文献

1. Eric W. Weisstein. Truncated Great Icosahedron. 密歇根州立大学图书馆. （原始内容存档于2013-06-21）.
2. Eric W. Weisstein. Great Truncated Icosahedron, whose Dual is the Great Stellapentakis Dodecahedron. 密歇根州立大学图书馆. （原始内容存档于2013-06-21）.
3. Truncated great icosahedron. bulatov.org. （原始内容存档于2012-06-01）.
4. Johann Pitsch, Über Halbreguläre Sternpolyeder, Zeitschrift für das Realschulwesen 6 (1881), 9-24, 64-65, 72-89, 216.
5. Self-Intersecting Truncated Regular Polyhedra: Truncated Great Icosahedron. dmccooey.com. （原始内容存档于2016-03-04）.
6. compound of great truncated icosahedron and great stellapentakisdodecahedron. bulatov.org. （原始内容存档于2016-09-06）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 截角大二十面體. MathWorld.