小双三斜三十二面体

在几何学中，小双三斜三十二面体是一种星形均匀多面体，属于星形多面体，由20个正三角形和12个五角星形组成^[1]，索引为U₃₀，对偶多面体为小三角六边形二十面体，其外观与双三斜十二面体类似，差别在于双三斜十二面体在小双三斜三十二面体的三角形面处被替换成较深的凹陷，而小双三斜三十二面体是平面的三角形面^[2]:123，并且与大双三斜三十二面体拓朴同构^[3][4]，且这些立体皆具有二十面体群对称性（英语：Icosahedral symmetry）。^[5][1][6]

小双三斜三十二面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	小三角六边形二十面体
识别
名称	小双三斜三十二面体
参考索引	U30, C39, W70
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	Sidtid
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	a{5,3}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3 | 5/2 3
性质
面	32
边	60
顶点	20
欧拉特征数	F=32, E=60, V=20 （χ=-8）
组成与布局
面的种类	20个正三角形{3} 12个正五角星{5/2}
顶点图	(3.5/2)3
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
(3.5/2)3 （顶点图） 小三角六边形二十面体 （对偶多面体）
查 论 编

性质

小双三斜三十二面体是一种非凸的均匀多面体，由32个面、60条边和20个顶点组成^[1][5]，欧拉示性数为-8^[1]。在其32个面中，有20个正三角形和12个正五角星^[7]，其中有12个非凸的面^[8]。在其20个顶点中，每个顶点都是3个三角形和3个五角星的公共顶点，具有点可递的性质，换句话说即每个顶角皆相等，并且这个顶角所对应的多面角之周边面是以正五角星、正三角形、正五角星、正三角形、正五角星和正三角形的顺序排列，这种顶角之面的排列方式在顶点图中可以表示为 (⁵/₂,3,⁵/₂,3,⁵/₂,3)^[9][10]，也可以简写为(⁵/₂,3)^3[11]。

外观

这个多面体在与正十二面体之面的12个相同的正五边形面之平面上皆有一个五角星面，也有平行于正二十面体之20个正三角形面的面。从顶点图中可以看到五角星面与三角形面有三组的相交，因此这个立体又可以称为双三角二十面十二面体（ditrigonal icosidodecahedron）。^[2]:106

表示法

小双三斜三十二面体在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以表示为^[11]（x5/2o3o3*a）^[12]或^[12]，在施莱夫利符号中可以表示为a{5,3}，在威佐夫记号（英语：Wythoff symbol）中可以表示为3 | 3 5/2^[13]或3 | 5/2 3。

凸包

小双三斜三十二面体的凸包是一个帕雷托立体——正十二面体。^[3][7]

凸包

小双三斜三十二面体

尺寸

若小双三斜三十二面体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[1][3][7]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {3}}{2}}\approx 0.8660254}$

边长为单位长的小双三斜三十二面体，中分球半径为：^[1]

${\displaystyle R_{M}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\approx 0.70710678}$

三角形面之面心共球的球半径为：^[1]

${\displaystyle R}$_三角形${\displaystyle \,={\frac {\sqrt {15}}{6}}\approx 0.645497224}$

五角星面之面心共球的球半径为：^[1]

${\displaystyle R}$_五角星${\displaystyle \,={\frac {\sqrt {5\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{6}}\approx 0.6881909602}$

二面角

小双三斜三十二面体仅有一种二面角，其为五角星和三角形的二面角，其角度约为142.62度：^[1]

${\displaystyle \angle }$五角星${\displaystyle ,}$三角形${\displaystyle \,=\arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)=\arccos \left(-{\sqrt {\frac {5+2{\sqrt {(}}5)}{15}}}\right)}$^[3][14]${\displaystyle \approx 2.4892345138\approx 142.622631859^{\circ }}$

顶点座标

边长长度1个单位长且几何中心位于原点的小双三斜三十二面体的顶点座标为^[15][16]：

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right)}$^[17]、

${\displaystyle \left(0,\,\pm {\frac {1}{2\varphi }},\,\pm {\frac {\varphi }{2}}\right)}$^[17]、

${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2\varphi }},\,\pm {\frac {\varphi }{2}},\,0\right)}$^[17]、

${\displaystyle \left(\pm {\frac {\varphi }{2}},\,0,\,\pm {\frac {1}{2\varphi }}\right)}$^[17]，

其中${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$为黄金比例。

对偶多面体

小双三斜三十二面体的对偶多面体是小三角六边形二十面体

主条目：小三角六边形二十面体

小双三斜三十二面体的对偶多面体是小三角六边形二十面体。由于小双三斜三十二面体的凸包为正十二面体，而正十二面体是正二十面体的对偶，因此小双三斜三十二面体的对偶多面体是一种星形二十面体^[7][18]:42。

相关多面体

a{5,3}	a{5/2,3}	b{5,5/2}
=	=
小双三斜三十二面体	大双三斜三十二面体	双三斜十二面体
正十二面体 (凸包)	五复合立方体	球面的五复合立方体

对偶复合体

小双三斜三十二面体与其对偶的复合体为复合小双三斜三十二面体小三角六边形二十面体。其共有52个面、120条边和52个顶点，其尤拉示性数为-16，亏格为9，和小双三斜三十二面体一样有12个非凸面，在威佐夫记号中以(3 | 5/2 3)表示^[19]。

参见

• 小三角六边形二十面体

参考文献

1. David I. McCooey. Self-Intersecting Quasi-Regular Polyhedra: Small Ditrigonal Icosidodecahedron. [2016-08-31]. （原始内容存档于2020-06-18）.
2. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
3. Richard Klitzing. small ditrigonary icosidodecahedron, sidtid. bendwavy.org. [2022-09-01]. （原始内容存档于2016-03-24）.
4. Richard Klitzing. great ditrigonary icosidodecahedron, gidtid. bendwavy.org. [2022-09-01]. （原始内容存档于2022-01-24）.
5. Maeder, Roman. Uniform Polyhedra 30: Small Ditrigonal Icosidodecahedron. MathConsult. [2016-08-31]. （原始内容存档于2020-02-17）.
6. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）.
7. Weisstein, Eric W. (编). Small Ditrigonal Icosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
8. V.Bulatov. small ditrigonal icosidodecahedron. bulatov.org. [2016-08-31]. （原始内容存档于2020-02-25）.
9. Augmenting the small ditrigonal icosidodecahedron. orchidpalms.com. [2016-08-31]. （原始内容存档于2016-03-06）.
10. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-09-01]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
11. Klitzing, Richard. Axial-Symmetrical Edge-Facetings of Uniform Polyhedra (PDF). tic. 2002, 2 (4): 3 [2022-09-01]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
12. Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.
13. Eric W. Weisstein. Small Ditrigonal Icosidodecahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-25 [2022-09-01]. （原始内容存档于2021-12-09）.
14. Wolfram, Stephen. "−sqrt(15*(5+2*sqrt(5)))/15". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.、Wolfram, Stephen. "-sqrt[(5+2 sqrt(5))/15]". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
15. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47–172.
16. Johann Pitsch. Über Halbreguläre Sternpolyeder. Zeitschrift für das Realschulwesen. 1881, (6): 9–24, 64–65, 72–89, 216.
17. Data of Small Ditrigonal Icosidodecahedron. dmccooey.com. [2016-08-31]. （原始内容存档于2017-01-10）.
18. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 2003 [1983], ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371
19. compound of small ditrigonal icosidodecahedron and small triambic icosahedron. bulatov.org. [2016-08-31]. （原始内容存档于2015-09-06）.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. 小雙三斜三十二面體. MathWorld.