大十二面二十面体

大十二面二十面体是一种星形均匀多面体，由20个正六边形和12个正十角星组成^[1]，索引为U₆₃，对偶多面体为大十二面二十面六十面体^[2]，其外观与大双三角十二面截半二十面体类似，差别在于大十二面二十面体比大双三角十二面截半二十面体的凹陷处，凹陷得更深^[3]:156。

大十二面二十面体

类别	均匀星形多面体
对偶多面体	大十二面二十面六十面体
识别
名称	大十二面二十面体 great dodecicosahedron great dodekicosahedron
参考索引	U63, C79, W101
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	giddy
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	3 5/3 (3/2 5/2) |
性质
面	32
边	120
顶点	60
欧拉特征数	F=32, E=120, V=60 （χ=-28）
组成与布局
面的种类	20个正六边形 12个十角星
顶点图	6.10/3.6/5.10/7
对称性
对称群	Ih, [5,3], *532
图像
6.10/3.6/5.10/7 （顶点图） 大十二面二十面六十面体 （对偶多面体）
查 论 编

性质

大十二面二十面体共由32个面、120条边和60个顶点组成。^[4]在其32个面中，有20个正六边形面和12个正十角星面^[5]。在其20个正六边形中，又能分成10个一般的正六边形（施莱夫利符号：{6}）和10个反向相接的正六边形（施莱夫利符号：{6⁄5}）；在其12个正十角星中，又能分成6个一般的正十角星（施莱夫利符号：{10⁄3}）和6个反向相接的正十角星（施莱夫利符号：{10⁄7}）^[6]。在其60个顶点中，每个顶点都是2个正十角星面、1个正五边形面和1个正六边形面的公共顶点，并且这些面在构成顶角的多面角时，以十角星、六边形、反向相接的正十角星和反向相接的正六边形的顺序排列，在顶点图中可以用(10⁄3.6.10⁄7.6⁄5)^[7]或(6.10/3.6/5.10/7)^[6][4][8]来表示。

表示法

大十二面二十面体在威佐夫记号中可以表示为${\displaystyle \left.3\,{\frac {5}{3}}\,\right|\,\left.{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\\{\frac {5}{2}}\end{matrix}}\right|}$^[9]或横式写法3 5⁄3 (3⁄2 5⁄2) |，表示其需要两个施瓦茨三角形来生成：(3 5⁄3 3⁄2)和(3 5⁄3 5⁄2)。威佐夫记号记为3 5⁄3 3⁄2 |时，代表的形状为大十二面二十面体还要包含额外的12个退化十角星（施莱夫利符号：{10⁄2}）形成的五边形；威佐夫记号记为5⁄3 5⁄2 |时，代表的形状为大十二面二十面体还要包含额外的20个退化六角星（施莱夫利符号：{6⁄2}）形成的三角形。^[10]

尺寸

若大十二面二十面体的边长为单位长，则其外接球半径为：^[2][1]

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {34-6{\sqrt {5}}}}{4}}\approx 1.134228596}$

边长为单位长的大十二面二十面体，中分球半径为：^[1][5]

${\displaystyle R_{M}={\frac {\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}{4}}\approx 1.0180739209}$

二面角

大十二面二十面体共有两种二面角，这两种二面角都是六边形面和十角星面的二面角，分别位于三角形孔洞和五边形孔洞中。^[11]

其中，位于三角形孔洞中的六边形面和十角星面的二面角角度约为100.812度：^[11]

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {\sqrt {15\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 1.759506857578\approx 100.812316964^{\circ }}$^[1]

而位于五边形孔洞中的六边形面和十角星面的二面角角度约为37.377度：^[11]

${\displaystyle \arccos \left({\frac {\sqrt {15\left(5+2{\sqrt {5}}\right)}}{15}}\right)\approx 0.652358139784\approx 37.377368141^{\circ }}$^[1]

相关多面体

大十二面二十面体与截角十二面体共用相同的顶点布局，顶点排列方式也与大二十面化截半二十面体和大双三角十二面截半二十面体相同^[12]。其亦与大二十面化截半二十面体和大双三角十二面截半二十面体共用相同的边布局。

截角十二面体

大二十面化截半二十面体

大双三角十二面截半二十面体

大十二面二十面体

图像

传统填充

相交偶数次为外部

参见

• 均匀多面体列表（英语：List of uniform polyhedra）

参考文献

1. David I. McCooey. Versi-Quasi-Regular Polyhedra: Great Dodecicosahedron. [2022-08-22]. （原始内容存档于2021-09-11）.
2. Weisstein, Eric W. (编). Great Dodecicosahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
3. Wenninger, M.J. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974 [2021-09-05]. ISBN 9780521098595. LCCN 69010200. （原始内容存档于2021-08-31）.
4. Maeder, Roman. 63: great dodecicosahedron. MathConsult. [2022-08-22]. （原始内容存档于2020-02-17）.
5. Jürgen Meier. 11.8. Great dodecicosahedron, Great ditrigonal dodecicosidodecahedron, Great icosicosidodecahedron. 3d-meier.de. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-08-22） （德语）.
6. Zvi Har'El. Kaleido Data: Uniform Polyhedron #68, great dodecicosahedron. harel.org.il. 2006-11-14 [2022-08-14]. （原始内容存档于2022-08-22）.
7. Kovič, J. Classification of uniform polyhedraby their symmetry-type graphs (PDF). Int. J. Open Problems Compt. Math. 2012, 5 (4) [2022-08-22]. （原始内容存档 (PDF)于2022-08-14）.
8. Paul Bourke. Uniform Polyhedra (80). Math Consult AG. October 2004 [2019-09-27]. （原始内容存档于2013-09-02）.
9. Eric W. Weisstein. Great Dodecicosahedron. archive.lib.msu.edu. 1999-05-25 [2022-08-22]. （原始内容存档于2021-12-04）.
10. Richard Klitzing. Icosahedral Symmetries uniform polyhedra, Polytopes & their Incidence Matrices. bendwavy.org. [2022-08-07]. （原始内容存档于2018-07-07）.
11. Richard Klitzing. great dodekicosahedron , giddy. bendwavy.org. [2022-08-22]. （原始内容存档于2022-01-19）.
12. Robert Webb. Great Rhombidodecahedron. software3d.com. [2022-08-22]. （原始内容存档于2021-05-11）.