共变和反变

在数学里，反变（contravariant，也称逆变）和共变（covariant，也称协变）描述一个矢量（或更广义来说，张量）的坐标，在矢量空间的基底／坐标系变换之下，会如何改变。

提示：此条目的主题不是协变与逆变。

反变和共变在张量场的演算中不可或缺，是了解狭义相对论、广义相对论必需的数学基础。

变换方式

矢量：反变变换

• 标记法说明：矢量 ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 是矢量空间 ${\displaystyle V\,\!}$ 的元素。矢量基底 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},...,\mathbf {e} _{n}\,\!}$ 构成了矢量空间的一个基底，其坐标系统为${\displaystyle x^{1},x^{2},...,x^{n}\,\!}$。对应这个基底，矢量${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$的分量为${\displaystyle v^{1},v^{2},...,v^{n}\,\!}$，即${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}\mathbf {e} _{i}}$。

（注：${\displaystyle v^{2}\,\!}$ 这符号中的上标${\displaystyle 2}$不代表平方，而是代表第二个坐标，在较基础的数学上，常写作 ${\displaystyle v_{2}\,\!}$ ，但是，在张量分析领域，指标写作上标或下标牵涉到对张量性质的提示，以及爱因斯坦求和约定。）

矢量空间${\displaystyle V}$有另一个基底${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{1},...,{\bar {\mathbf {e} }}_{n}\,\!}$，其坐标系统为${\displaystyle {\bar {x}}^{1},...,{\bar {x}}^{n}\,\!}$。对应这个基底，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 有分量 ${\displaystyle {\bar {v}}^{1},{\bar {v}}^{2},...,{\bar {v}}^{n}\,\!}$，即${\displaystyle \textstyle \mathbf {v} =\sum _{i}{\bar {v}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}}$。

对于1...n之间任意整数 ${\displaystyle \mu \,\!}$ ，我们知道 ${\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }\,\!}$ 和 ${\displaystyle v^{1},v^{2},...,v^{n}\,\!}$ 的关系：

${\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{1}}}v^{1}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{2}}}v^{2}+...+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{n}}}v^{n}\,\!}$。

使用爱因斯坦求和约定可写成：

${\displaystyle {\bar {v}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{i}}}v^{i}\,\!}$ 。

余矢量：共变变换

假设对偶空间${\displaystyle V^{*}}$有两个基底 ${\displaystyle {\mathbf {dx} ^{1},\mathbf {dx} ^{2},...,\mathbf {dx} ^{n}}\,\!}$跟${\displaystyle \mathbf {d{\bar {x}}} ^{1},\mathbf {d{\bar {x}}} ^{2},...,\mathbf {d{\bar {x}}} ^{n}\,\!}$ 。^[1]:289-297

假设${\displaystyle \textstyle {\boldsymbol {\omega }}\in V^{*},{\boldsymbol {\omega }}=\sum _{i}\mathbf {\eta } _{i}\mathbf {dx} ^{i}=\sum _{j}{\bar {\mathbf {\eta } }}_{j}d{\bar {\mathbf {x} }}^{j}}$。 则对于${\displaystyle 1}$...${\displaystyle n}$之间其中一个特定的整数 ${\displaystyle \mu \,\!}$ ，我们知道 ${\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }\,\!}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {\eta } _{1},\mathbf {\eta } _{2},...,\mathbf {\eta } _{n}\,\!}$ 的关系：

${\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }={\frac {\partial x^{1}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{1}+{\frac {\partial x^{2}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{2}+...+{\frac {\partial x^{n}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{n}\,\!}$ 。

或使用爱因斯坦求和约定写成：

${\displaystyle {\bar {\mathbf {\eta } }}_{\mu }={\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}\mathbf {\eta } _{i}\,\!}$ 。

矢量的共变分量和反变分量

在欧几里得空间 ${\displaystyle V\,\!}$ 里，共变矢量和反变矢量之间的区分很小。这是因为能够使用内积运算从矢量求得余矢量；对于所有余矢量 ${\displaystyle \mathbf {w} \,\!}$ ，通过下述方程，矢量 ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 和线性泛函 ${\displaystyle \alpha (\mathbf {w} )\,\!}$ ，唯一地确定了余矢量 ${\displaystyle \mathbf {w} \,\!}$ ：

${\displaystyle \alpha (\mathbf {w} )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} \,\!}$ 。

逆过来，通过上述方程，线性泛函 ${\displaystyle \alpha (\mathbf {w} )\,\!}$ 和每一个余矢量，唯一地确定了矢量 ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 。由于这矢量与余矢量的相互辨认，我们可以提到矢量的共变分量和反变分量；也就是说，它们只是同样矢量对于基底和其对偶基底的不同表现。

给予 ${\displaystyle V\,\!}$ 的一个基底 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}=(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\,\!}$ ，则必存在一个唯一的对偶基底 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}^{\sharp }=(Y^{1},Y^{2},\dots ,Y^{n})\,\!}$ ，满足

${\displaystyle Y^{i}\cdot X_{j}=\delta _{j}^{i}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \delta _{j}^{i}\,\!}$ 是克罗内克函数。

以这两种基底，任意矢量 ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 可以写为两种形式

${\displaystyle {\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[{\mathfrak {f}}]X_{i}={\mathfrak {f}}\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}]\\&=\sum _{i}v_{i}[{\mathfrak {f}}]Y^{i}={\mathfrak {f}}^{\sharp }\,\mathbf {v} [{\mathfrak {f}}^{\sharp }]\end{aligned}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle v^{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}$ 是矢量 ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 对于基底 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!}$ 的反变分量，${\displaystyle v_{i}[{\mathfrak {f}}]\,\!}$ 是矢量 ${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 对于基底 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}\,\!}$ 的共变分量，

欧几里得空间

将矢量 ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 投影于坐标轴 ${\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\,\!}$ ，可以求得其反变分量 ${\displaystyle a^{i}\,\!}$ ；将矢量 ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 投影于坐标曲面的法线 ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$ ，可以求得其共变分量 ${\displaystyle a_{i}\,\!}$ 。

在欧几里得空间Ｒ³里，使用内积运算，能够从矢量求得余矢量。给予一组可能不是标准正交基的基底，其基底矢量为 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}$ ，就可以计算其对偶基底的基底矢量：

${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\tau }};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\tau }}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \tau =\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})\,\!}$ 是三个基底矢量 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {e} _{3}\,\!}$ 所形成的平行六面体的体积。

反过来计算，

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\frac {\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{2}={\frac {\mathbf {e} ^{3}\times \mathbf {e} ^{1}}{\tau '}};\qquad \mathbf {e} _{3}={\frac {\mathbf {e} ^{1}\times \mathbf {e} ^{2}}{\tau '}}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \tau '=\mathbf {e} ^{1}\cdot (\mathbf {e} ^{2}\times \mathbf {e} ^{3})=1/\tau \,\!}$ 是三个基底矢量 ${\displaystyle \mathbf {e} ^{1}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {e} ^{2}\,\!}$ 、${\displaystyle \mathbf {e} ^{3}\,\!}$ 所形成的平行六面体的体积 。

虽然 ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,\!}$ 与 ${\displaystyle \mathbf {e} ^{j}\,\!}$ 并不相互标准正交，它们相互对偶：

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=\delta _{i}^{j}\,\!}$ 。

这样，任意矢量 ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 的反变坐标为

${\displaystyle a^{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad a^{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad a^{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{3}\,\!}$ 。

类似地，共变坐标为

${\displaystyle a_{1}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad a_{2}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad a_{3}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}\,\!}$ 。

这样， ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 可以表达为

${\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} ^{i}=a_{1}\mathbf {e} ^{1}+a_{2}\mathbf {e} ^{2}+a_{3}\mathbf {e} ^{3}\,\!}$ ，

或者，

${\displaystyle \mathbf {a} =a^{i}\mathbf {e} _{i}=a^{1}\mathbf {e} _{1}+a^{2}\mathbf {e} _{2}+a^{3}\mathbf {e} _{3}\,\!}$ 。

综合上述关系式，

${\displaystyle \mathbf {a} =(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}\,\!}$ 。

矢量 ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 的共变坐标为

${\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{i}=(a^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})a^{j}=g_{ji}a^{j}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle g_{ji}=\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i}\,\!}$ 是度规张量。

矢量 ${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 的反变坐标为

${\displaystyle a^{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(a_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})a_{j}=g^{ji}a_{j}\,\!}$ ;

其中，${\displaystyle g^{ji}=\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i}\,\!}$ 是共轭度规张量。

共变坐标的标号是下标，反变坐标的标号是上标。假若共变基底矢量组成的基底是标准正交基，或反变基底矢量组成的基底是标准正交基，则共变基底与反变基底相互等价。那么，就没有必要分辨共变坐标和反变坐标，所有的标号都可以用下标来标记。

在相对论上的应用

根据相对性原理，一条物理定律在不同的系统，都应该有相同的“形式”。

狭义相对论讨论的是闵可夫斯基空间，它是一种平直空间。

参考来源

1. Goldstein, Herbert, Classical Mechanics 3rd, United States of America: Addison Wesley, 1980, ISBN 0201657023 （英语）