Шлях (топологія)
у топології, неперервна функція між двома точками / З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Шановний Wikiwand AI, Давайте зробимо це простіше, відповівши на ключові запитання:
Чи можете ви надати найпопулярніші факти та статистику про Шлях (топологія)?
Підсумуйте цю статтю для 10-річної дитини
У математиці шлях в топологічному просторі X — це безперервне відображення f з одиничного відрізка I = [0,1] в X
- f : I → X.
Початковою точкою шляху є f(0), а кінцевою точкою — f(1). Часто говорять про «шлях з x в y», де x і y — початкова і кінцева точки шляху. Зауважимо, що шлях — це не просто підмножина X, яка «виглядає як» крива, він також включає параметризацію. Наприклад, відображення f(x) = x і g(x) = x2 представляють два різні шляхи від 0 до 1 на дійсній прямій.
Петля в просторі X з базовою точкою x ∈ X — це шлях з x в x. Петля може також бути визначена як відображення f : I → X з f(0) = f(1) або як неперервне відображення одиничного кола S1 в X
- f : S1 → X.
Останнє випливає з того, що S1 можна вважати фактор-простором I при ототожненні 0 з 1. Множина всіх петель на X утворює простір, який називається простором петель простору X[1].
Топологічний простір, в якому існує шлях, що з'єднує будь-які дві точки, називається лінійно зв'язаним. Будь-який простір можна розбити на множину лінійно зв'язаних компонент. Множина лінійно зв'язаних компонент простору X часто позначається π0(X);.
Можна також визначити шляхи і петлі в пунктованих просторах[en], які важливі в теорії гомотопій. Якщо X є топологічним простором з виділеною точкою x0, то шлях в X — це шлях, початковою точкою якого є x0. Подібним чином петля в X — це петля в точці x0.