Теорема Банаха — Штейнгауза
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Результат про властивості класів неперервних відображень, що діють на лінійних топологічних просторах.
- Покладаємо, що
і
є топологічними векторними просторами;
— набір неперервних лінійних відображень із
у
, а
— множина усіх
, що їх орбіти :=\{\Lambda (x)|\Lambda \in \Gamma \}}
обмежені у
.
- Якщо тепер
є множиною другої категорії[1] у
, то
і
— рівномірно неперерна[2][3][4].
Дамо також наступне формулювання, застосовне в багатьох часткових випадках:
- Нехай,
і
— повні метричні простори, :=\{\Lambda |\Lambda :X\rightarrow Y\}}
— набір неперервних лінійних відображень; також,
.
- Тоді
[4].
Простір у точній верхній межі у другому формулюванні можна замінити на будь-яку підмножину другої категорії в
.
У принципі рівномірної обмеженості простори можна вважати локально опуклими[5] за умови
— бочковий простір[6].
Вкажемо тут означення бочкового простору. Множина
— збалансована, якщо
(поелементне множення на скаляр); збалансована множина є поглинаючою, якщо
.
Тепер бочковий простір — той, у якому кожна замкнена збалансована поглинаюча опукла множина є околом нуля.
Теорема може бути доведена з використанням теореми Бера про категорії.