Тензорний аналіз — узагальнення векторного аналізу, розділ тензорного числення, що вивчає диференційні оператори, котрі діють на алгебрі тензорних полів
, що диференціюється
. Розглядаються також оператори, що діють на загальніші, ніж тензорні поля, геометричні об'єкти: тензорна густина, диференціальні форми зі значеннями у векторному розшаруванні
і т.д.
Найбільший інтерес представляють оператори, дія яких не виводить за межі алгебри
.
1) Коваріантна похідна уздовж векторного поля
— лінійне відображення
простору векторних полів
від
, залежне від векторного поля
і яке задовольняє умовам:
де
,
,
,
,
— гладкі функції на
. Зв'язність
і паралельне перенесення, що визначаються цим оператором, дозволяють розповсюдити дію коваріантної похідної до лінійного відображення алгебри
в себе; при цьому відображення
є диференціюванням, зберігає тип тензорного поля і перестановочне зі згорткою.
В локальних координатах
коваріантна похідна тензора з компонентами
щодо вектора
визначається так:
— об'єкт зв'язності
.
2) Похідна Лі уздовж векторного поля
— відображення
простору
, що визначене формулою
, де
— комутатор векторних полів
. Цей оператор також однозначно продовжується до диференціювання
, зберігає тип тензорів і
переставляється зі згорткою. В локальних координатах Лі похідна тензора
виражається так:
3) Зовнішній диференціал (зовнішня похідна) — лінійний оператор
, що зіставляє зовнішній диференційній формі (кососиметричному коваріантному тензору) степеня
форму такого ж вигляду і степеня
, котра задовольняє умовам:
де
— символ зовнішнього добутку
— ступінь
. В локальних координатах зовнішня похідна тензора
виражається так:
Оператор
— узагальнення оператора
.
4) Тензор кривизни симетричного невиродженого двічі коваріантного тензора
є дією деякого нелінійного оператора
:
де