Loading AI tools
Невирішувана головоломка, інша назва Головоломка суми та множення — це головоломка, яка називається «невирішуваною», бо їх наче не достатньо інформації для вирішення. Вона вперше була надрукована в 1969 році Гансом Фройденталем,[1], а назву Невирішувана головоломка отримала від Мартіна Гарднера.[2] Головоломка насправді вирішувана, хоча і не легко. Існує багато схожих версій головоломок.
X та Y є два різні цілі числа, більші за 1, сума яких менше 100. S та P — два математики; S знає суму X+Y, P знає результат множення X*Y, і обидва знають інформацію у цих двох твердженнях. Відбувається така розмова:
- P каже «Я не можу вгадати ці два числа.»
- S каже «Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш. Я їх теж не можу вгадати.»
- P каже «Тоді, я їх знаю.»
- S каже «Якщо ти можеш їх вгадати, то і я їх знаю.»
Що це за два числа?
У рішенні X та Y дорівнюють 4 та 13 (або навпаки), коли P знає, що результат множення 52, а S знає, що сума — 17.
Спочатку P не знає рішення, бо
- 52 = 4 × 13 = 2 × 26
а S знає, що P не знає рішення, оскільки всі можливі пари чисел, сума яких дорівнює 17, також дають неоднозначні результати множення. Однак кожен може отримати рішення шляхом відкидання інших варіантів, беручи до уваги твердження опонента, і це достатньо, щоб читач знайшов рішення в наданих обмеженнях.
Математик P
P знає, що результат множення p=52. P має варіанти (2,26) та (4,13). Тому P знає, що сума s=28 або s=17.
Якщо s=28:
- S матиме варіанти (2,26), (3,25), (4,24), (5,23), (6,22), (7,21), (8,20), (9,19), (10,18), (11,17), (12,16) та (13,15).
- S знатиме, що якщо (5,23) або (11,17), P знатиме ці числа.
- S не зможе сказати «Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш.»
Якщо s=17:
- S матиме варіанти (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10) та (8,9).
- S знатиме, що P не знатиме ці числа.
- S зможе сказати «Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш».
Тому, коли S каже «Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш», P відкидає (2,26) та розуміє, що відповідь — (4,13).
Математик S
S знає, що сума s=17. S має варіанти (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10) та (8,9). Тому S знає, що результат множення p може бути 30, 42, 52, 60, 66, 70 або 72.
Коли P каже «Тоді, я їх знаю», S розуміє, що його попереднє твердження відкинуло для P всі варіанти крім одного.
S повторює хід думки P
Варіант 1 (p=30)
P знає, що p=30. P має варіанти (2,15), (3,10) та (5,6). P знає, що s дорівнює 17, 13 або 11.
Якщо s=17:
- S матиме варіанти (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10) та (8,9).
- S знатиме, що P не знатиме ці числа.
- S зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=13:
- S матиме варіанти (2,11), (3,10), (4,9), (5,8) та (6,7).
- S знатиме, якщо (2,11), то P знатиме числа.
- S не зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=11:
- S матиме варіанти (2,9), (3,8), (4,7) та (5,6).
- S знатиме, що P не знатиме ці числа.
- S зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Варіант 2 (p=42)
P знає, що p=42. P має варіанти (2,21), (3,14) та (6,7). Отже P знає, що сума s - 23, 17 або 13.
Якщо s=23:
- S матиме варіанти (2,21), (3,20), (4,19), (5,18), (6,17), (7,16), (8,15), (9,14), (10,13) та (11,12).
- S знатиме, що P не знатиме ці числа.
- S зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=17:
- S матиме варіанти (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10) та (8,9).
- S знатиме, що P не знатиме ці числа.
- S зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=13:
- S матиме варіанти (2,11), (3,10), (4,9), (5,8) та (6,7).
- S знатиме, якщо (2,11), P знатиме числа.
- S не зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Варіант 3 (p=52)
Див. розмірковування математика P вище.
Варіант 4 (p=60)
P знає, що p=60. P має варіанти (2,30), (3,20), (4,15), (5,12) та (6,10). Отже, P знає, що сума s - 32, 23, 19, 17 або 16.
Якщо s=32:
- S матиме варіанти (2,30), (3,29), (4,28), (5,27), (6,26), (7,25), (8,24), (9,23), (10,22), (11,21), (12,20), (13,19), (14,18) та (15,17).
- S знатиме, якщо (3,29) або (13,19), P знатиме числа.
- S не зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=23:
- S матиме варіанти (2,21), (3,20), (4,19), (5,18), (6,17), (7,16), (8,15), (9,14), (10,13) та (11,12).
- S знатиме, що P не знатиме ці числа.
- S зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=19:
- S матиме варіанти (2,17), (3,16), (4,15), (5,14), (6,13), (7,12), (8,11) та (9,10).
- S знатиме, якщо (2,17), P знатиме числа.
- S не зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=17:
- S матиме варіанти (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10) та (8,9).
- S знатиме, що P не знатиме ці числа.
- S зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=16:
- S матиме варіанти (2,14), (3,13), (4,12), (5,11), (6,10) та (7,9).
- S знатиме, якщо (3,13) or (5,11), P знатиме числа.
- S не зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Варіант 5 (p=66)
P знає, що p=66. P має варіанти (2,33), (3,22) та (6,11). Отже, P знає, що сума s - 35, 25 або 17.
Якщо s=35:
- S матиме варіанти (2,33), (3,32), (4,31), (5,30), (6,29), (7,28), (8,27), (9,26), (10,25), (11,24), (12,23), (13,22), (14,21), (15,20), (16,19) та (17,18).
- S знатиме, що P не знатиме ці числа.
- S зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=25:
- S матиме варіанти (2,23), (3,22), (4,21), (5,20), (6,19), (7,18), (8,17), (9,16), (10,15), (11,14) та (12,13).
- S знатиме, якщо (2,23), P знатиме числа.
- S не зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=17:
- S матиме варіанти (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10) та (8,9).
- S знатиме, що P не знатиме ці числа.
- S зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Варіант 6 (p=70)
P знає, що p=70. P має варіанти (2,35), (5,14) та (7,10). Отже, P знає, що сума s - 37, 19 або 17.
Якщо s=37:
- S матиме варіанти (2,35), (3,34), (4,33), (5,32), (6,31), (7,30), (8,29), (9,28), (10,27), (11,26), (12,25), (13,24), (14,23), (15,22), (16,21), (17,20) та (18,19).
- S знатиме, що P не знатиме ці числа.
- S зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=19:
- S матиме варіанти (2,17), (3,16), (4,15), (5,14), (6,13), (7,12), (8,11) та (9,10).
- S знатиме, якщо (2,17), P знатиме числа.
- S не зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=17:
- S матиме варіанти (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10) та (8,9).
- S знатиме, що P не знатиме ці числа.
- S зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Варіант 7 (p=72)
P знає, що p=72. P має варіанти (2,36), (3,24), (4,18), (6,12) та (8,9). P знає, що сума s - 38, 27, 22, 18 або 17.
Якщо s=38:
- S матиме варіанти (2,36), (3,35), (4,34), (5,33), (6,32), (7,31), (8,30), (9,29), (10,28), (11,27), (12,26), (13,25), (14,24), (15,23), (16,22), (17,21) та (18,20).
- S знатиме, якщо (7,31), P знатиме числа.
- S не зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=27:
- S матиме варіанти (2,25), (3,24), (4,23), (5,22), (6,21), (7,20), (8,19), (9,18), (10,17), (11,16), (12,15) та (13,14).
- S знатиме, що P не знатиме ці числа.
- S зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=22:
- S матиме варіанти (2,20), (3,19), (4,18), (5,17), (6,16), (7,15), (8,14), (9,13) та (10,12).
- S знатиме, якщо (3,19) або (5,17), P знатиме числа.
- S не зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=18:
- S матиме варіанти (2,16), (3,15), (4,14), (5,13), (6,12), (7,11) та (8,10).
- S знатиме, якщо (5,13) або (7,11), P знатиме числа.
- S не зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Якщо s=17:
- S матиме варіанти (2,15), (3,14), (4,13), (5,12), (6,11), (7,10) та (8,9).
- S знатиме, що P не знатиме ці числа.
- S зможе сказати "Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш".
Лише варіант 3 виключає всі, крім однієї можливості для P. Так S вирішує, що (4,13) є відповіддю.
Вищенаведене рішення є підтвердженням, а не вирішенням. Воно підтверджує, що якщо P повідомили число 52, а S повідомили число 17, тоді і P визначить пару чисел, і S визначить цю пару чисел. Однак воно не доводить, що (4,13) є єдиною відповіддю. Коли є відповідь на друге питання, (тобто S каже «Я був впевнений, що ти їх не вгадаєш»), чи справді 52 це результат множення, який отримав P?
Відповідь — так. Для отримання відповіді можна використати книгу excel. Якщо x та y — це загадані числа, двома рівняннями будуть x+y=s та x*y=p. Підставляючи замість y, отримаємо x2-s*x+p=0. В книзі excel відбувається пошук цілих чисел для заданих значень s та p.
Нижче наведено код мовою програмування Python, який доводить, що вищенаведене рішення є унікальним.
limit = 100
#до їх розмови будь-яке x*y де 1<x<y<x+y<limit дозволено як P
PAllowed1 = {}
for x in range(2, limit):
for y in range(x+1, limit-x):
if x*y not in PAllowed1:
PAllowed1[x*y] = 1
else:
PAllowed1[x*y] += 1
# коли P каже "Я не знаю", дозволені лише P з PAllowed1[P]>1
SNotAllowed1 = {}
for x in range(2, limit):
for y in range(x+1, limit-x):
if PAllowed1[x*y] == 1 :
SNotAllowed1[x+y] = 1
# коли S каже "Я не знаю", дозволені лише ті S, що лежать в площині SNotAllowed1
PAllowed2 = {}
for n in range(2, limit):
if n not in SNotAllowed1:
for x in range(2, n//2+1):
p = x * (n-x)
if p in PAllowed1 and PAllowed1[p] > 1:
if p in PAllowed2:
PAllowed2[p] += 1
else:
PAllowed2[p] = 1
# дозволені лише ті P, що можуть бути поділені на два числа x,y де x+y дозволено лише в одному варіанті, тоюто PAllowed2[P]==1
SAllowed2 = {}
for n in range(2, limit):
if n not in SNotAllowed1:
for x in range(2, n//2+1):
if x*(n-x) in PAllowed2 and PAllowed2[x*(n-x)] == 1:
if n in SAllowed2:
SAllowed2[n] += 1
else:
SAllowed2[n] = 1
# оскільки S тепер знає відповідь, то поділ може бути здійснений лише в одному варіанті - S, де SAllowed2[S]==1
for n in SAllowed2:
if SAllowed2[n] == 1:
for x in range(2, n//2+1):
if x*(n-x) in PAllowed2 and PAllowed2[x*(n-x)] == 1:
print '(S,P) = ( %d , %d ), (x,y)= ( %d , %d )' % (n, x*(n-x), x, n-x)
Нижче наведено код мовою програмування Scala, який доводить, що вищенаведене рішення є унікальним.
object ImpossiblePuzzle extends App {
type XY = (Int, Int)
val step0 = for {
x <- 1 to 100
y <- 1 to 100
if 1 < x && x < y && x + y < 100
} yield (x, y)
def sum(xy: XY) = xy._1 + xy._2
def prod(xy: XY) = xy._1 * xy._2
def sumEq(xy: XY) = step0 filter { sum(_) == sum(xy) }
def prodEq(xy: XY) = step0 filter { prod(_) == prod(xy) }
val step2 = step0 filter { sumEq(_) forall { prodEq(_).size != 1 }}
val step3 = step2 filter { prodEq(_).intersect(step2).size == 1 }
val step4 = step3 filter { sumEq(_).intersect(step3).size == 1 }
println(step4)
}
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
