Натуральний логарифм
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Натуральний логарифм — це логарифм з основою e, де e — ірраціональна константа, що дорівнює приблизно 2,718281828. Натуральний логарифм зазвичай позначають як ln(x), loge (x) або іноді просто log(x), якщо мається на увазі e.[1]
Натуральний логарифм числа x (записується як ln(x)) — це показник степеня, до якого потрібно піднести число e, щоб отримати x. Наприклад, ln(7,389…) дорівнює 2, тому що e2=7,389. Натуральний логарифм самого числа e (ln(e)) дорівнює 1, тому що e1 =e, а натуральний логарифм 1 (ln(1)) дорівнює 0, оскільки e0 = 1.
Натуральний логарифм може бути визначений для будь-якого позитивного дійсного числа a як площа під кривою y=1/x від 1 до a. Простота цього визначення, яка узгоджується з багатьма іншими формулами, у яких застосовується натуральний логарифм, привела до появи назви «натуральний». Це визначення можна розширити на комплексні числа, про що буде сказано нижче.
Якщо розглядати натуральний логарифм як речову функцію дійсної змінної, то вона є оберненою функцією до експоненційної функції, з чого слідують тотожності:
Подібно до всіх логарифмів, натуральний логарифм відображає множення у додавання:
Таким чином, логарифмічна функція являє собою ізоморфізм групи додатних дійсних чисел щодо множення на групу дійсних чисел по додаванню, який можна представити у вигляді функції:
Логарифм може бути визначений для будь-якого додатної основи, відмінної від 1, а не лише для e, але логарифми для інших основ відрізняються від натурального логарифма лише постійним множником, і, зазвичай, визначаються у термінах натурального логарифма. Логарифми корисні для вирішення рівнянь, у яких невідомі присутні як основи ступеня. Наприклад, логарифми використовуються для знаходження постійної розпаду для відомого періоду напіврозпаду, або для знаходження часу розпаду у вирішенні проблем радіоактивності. Вони відіграють важливу роль у багатьох галузях математики та прикладних наук, застосовуються у сфері фінансів для вирішення багатьох завдань, включаючи розрахунок складних відсотків.