Ф. Гаусдорф розглядав [1] деякий клас
відкритих множин
, на якому визначив невід'ємну функцію
і
![{\displaystyle \lambda (B,\;\varepsilon )=\inf \left\{\sum _{i=1}^{n}l(A_{i})\right\},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09c6d875240d4f6b75101818eae2a3afb6241dfd)
де нижня межа береться по всіх скінченних або зліченних покриттях борелівської множини
множинами з
з діаметром, що не перевищує
, тобто
![{\displaystyle B\subset \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {U}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9e70f9e302b04b820209b9960a18bc48d8ee8d)
і
![{\displaystyle \mathrm {diam} \,A_{i}\leqslant \varepsilon ,\quad n=1,\;2,\;\ldots }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/409ee4034bdeea2555374127d4e185db06035a9f)
Мірою Гаусдорфа
, що визначається класом
і функцією
, називається межа
![{\displaystyle \lambda (B)=\lim _{\varepsilon \to 0}\lambda (B,\;\varepsilon ).}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d69ab2366df4b6195d026a541995195626170bf6)
- Нехай
— сукупність всіх куль на
, a
, де
. Тоді відповідна міра
буде називатися
-мірою Гаусдорфа. При
така міра буде називатися лінійною мірою Гаусдорфа, а при
— пласкою мірою Гаусдорфа.
- Якщо
,
— сукупність циліндрів з кульовими основами і осями, паралельними до напрямку осі
и
рівна
-мірному об'єму осьового перерізу циліндра
, то відповідна міра Гаусдорфа називається циліндричною мірою.
- Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ. — М. : Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5..