Біпіраміда
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Біпіраміда або дипіраміда — багатогранник, який складається з плоского багатокутника і двох точок (які не лежать у площині цього багатокутника та знаходяться по різні сторони від неї) та всіх відрізків, що сполучають ці дві вершини біпіраміди (пікові вершини) з вершинами багатокутника (екваторіального багатокутника).
Множина біпірамід | |
---|---|
П'ятикутна біпіраміда (приклад) | |
Тип | Множина біпірамід |
Властивості | Опуклий, гране-транзитивний (ізоедр) |
Комбінаторика | |
Елементи | 2n граней; 3n ребер (n коротких + 2n довгих); n + 2 вершини (n {4-го степеня} + 2{n-го}). |
Грані |
2n рівних рівнобедрених трикутників |
Характеристика Ейлера |
|
Конфігурація грані | V n.4.4 |
Вершинна фігура | 2 правильних n кутників n ромбів |
Класифікація | |
Позначення | • dPn (в нотації Конвея[en], як двоїстий до n-кутної призми) |
Символ Шлефлі | { } + {n} [1] :стор.234 |
Діаграма Коксетера-Динкіна |
або (m2mno) |
Група симетрії | Dnh[en], [n,2], (*n22), порядок 4n[1] :ст.234 (Діедрична симетрія n-Призми) |
Група поворотів |
Dn, [n,2]+, (n22), порядок 2n |
Двоїстий багатогранник | Пряма n кутна призма |
Розгортка |
Відрізки, що сполучають пікові вершини біпіраміди з її екваторіальними вершинами, називаються бічними ребрами. Всі грані біпіраміди є трикутниками (в загальному випадку різними і різносторонніми).
Біпіраміда або дипіраміда — тривимірний багатогранник, утворений шляхом з'єднання двох пірамід основою до основи, симетрично відносно площини їх спільної основи (кожна з пірамід є дзеркальним відображенням іншої). [2] [3] [4]:стор.117
При цьому грані основ цих пірамід не розглядаються як грань біпіраміди. [5] :ст.138 А в місці їх з'єднання з ребер основ пірамід формується плоский багатокутник (екваторіальний багатокутник біпіраміди).
Якщо дві пікові вершини біпіраміди лежать на прямій, що перпендикулярна до площини екваторіального багатокутника, і проходить через його центроїд, біпіраміда називається прямою. Якщо ця пряма не походить через центроїд екваторіального багатокутника, біпіраміда є похилою. [5] :ст.138 Докладніше про різновиди біпірамід див. нижче в розділі «Деякі варіації та узагальнення біпірамід».
Правильна n‒кутна біпіраміда — біпіраміда, екваторіальним багатокутником якої є правильний n-кутник, а пікові вершини лежать на прямій, що проходить через його центр перпендикулярно до площини цього n‒кутника, на рівній відстані від неї. Тобто це багатогранник, утворений з'єднанням двох правильних пірамід по їх основам.
Правильна n‒кутна біпіраміда складається з 2n конгруентних рівнобедрених трикутників. Має 3n ребер (n екваторіальних + 2n бічних) та n + 2 вершини (n екваторіальних + 2 пікові).
Правильна n‒кутна біпіраміда є двоїстим багатогранником до правильної призми.
Правильна n‒кутна біпіраміда має групу симетрії Dnh, [n,2], (*22n), порядку 4n (діедрична симетрія[en] правильної призми). [1] :ст.233-234 [6] :ст.303 [7] :ст.126
Має наступні елементи симетрії:
- n осей обертання 2-го порядку;
- n площин дзеркального відбиття,
- одну вісь обертання n-го порядку, що проходить через дві пікові вершини,
- площину симетрії, що проходить через екваторіальний n‒кутник.
Якщо n парне, то є центр симетрії.
Піраміди та біпіраміди існують як нескінченні множини багатогранників, так само, як множини призм, антипризм, трапецоедрів, куполів, бікуполів та ін.
При збільшенні числа сторін екваторіального багатокутника, в границі формується замкнена гладка плоска крива (зокрема з правильного n‒кутника сформується коло) і утворюється тіло, обмежене двома конусами, для яких ця крива є спільною.