Алгебрична функція
З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
У математиці алгебраїчна функція — це функція, яку можна визначити як корінь поліноміального (алгебраїчного) рівняння. Досить часто алгебраїчні функції являють собою алгебраїчні вирази із скінченною кількістю членів з використанням лише алгебраїчних операцій додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до дробового степеня. Прикладами таких функцій є:
,
,
.
Однак деякі алгебраїчні функції не можна представити за допомогою скінченної кількості таких виразів (теорема Абеля — Руффіні). Таким прикладом є радикал Брінга — функція, що неявно визначається рівнянням
Точніше кажучи, алгебраїчною функцією степеня від однієї змінної
є функція
, яка неперервна на своїй області визначення і задовольняє поліноміальне рівняння:
де коефіцієнти — поліноміальні функції від
із цілими коефіцієнтами.
Можна показати, що отримаємо той самий клас функцій, якщо коефіцієнти поліномів
є алгебраїчними числами.
Якщо ж в коефіцієнтах зустрічаються трансцендентні числа, то функція у загальному випадку не є алгебраїчною, але вона є алгебраїчною над полем, яке породжене цими коефіцієнтами.
Значення алгебраїчної функції для раціонального числа, а в загальному випадку для алгебраїчного числа, завжди є алгебраїчним числом.
Іноді розглядають коефіцієнти , які є поліномами над кільцем
, і тоді говорять про "алгебраїчні функції над кільцем
".
Функція, яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною як, наприклад, у випадку ,
,
,
.
Композиція трансцендентних функцій може дати алгебраїчну функцію:
.
Оскільки поліноміальне рівняння степеня має до
коренів (і рівно
коренів над алгебраїчно замкненим полем, таким як поле комплексних чисел), то поліноміальне рівняння неявно визначає не одну функцію, а до
функцій, які іноді також називаються гілками.
Розглянемо для прикладу рівняння одиничного кола:
.
Воно визначає
, але тільки з точністю до знаку; відповідно, маємо дві гілки:
.
Алгебраїчна функція від змінних також визначається як функція
, яка є розв'язком поліноміального рівняння з
змінними
Зазвичай передбачається, що поліном має бути незвідним поліномом.Тоді існування алгебраїчної функції гарантується теоремою про неявну функцію.
Формально, алгебраїчна функція з
змінних над полем
є елементом алгебраїчного замикання[en] поля раціональних функцій
.