У комплексному аналізі теорема Шотткі — один із класичних результатів так званої геометричної теорії функцій комплексної змінної, яка пов'язана з теоремами Блоха, Блоха — Ландау, Ландау і може використовуватися зокрема для доведення малої і великої теорем Пікара.
Твердження теореми
Нехай функція є голоморфною у крузі і не рівною в ньому і . Тоді справедливою є нерівність , де функція залежить тільки від і і, відповідно, не залежить від конкретної функції.
Доведення
Доведення має багато спільного з доведенням теореми Ландау і тут використовуються ті ж позначення.
Розглянемо функцію , голоморфну всередині круга , що не є рівною в цьому крузі 0 і 1. Введемо допоміжну функцію
- .
Навпаки отримаємо:
- .
Розглянемо також функцію
де .
Ця функція буде голоморфною функцією змінної всередині круга , і також
Згідно теореми Блоха для цієї функції існує круг з центром в деякій точці площини радіуса , що не залежить від конкретної функції, який повністю належить її області значень. Отже, для функції існує круг з центром в деякій точці радіуса , що належить області значень функції при , а тим більше значеннями при, . Так як, з іншого боку, функція при не дорівнює числам множини , в доведенні теореми Ландау то має місце нерівність де , як і в доведенні теореми Ландау є абсолютною константою, більшою відстані будь-якої точки комплексної площини до множини точок . Останню нерівність перепишемо у вигляді
- .
Ця нерівність виведена в припущенні , але в разі вона є очевидною. Отже, нерівність справедливо для всіх .
Відзначимо очевидну тотожність
- .
Оскільки
- при
то вважаючи за шлях інтегрування прямолінійний відрізок довжини , що з'єднує точки 0 і , отримуємо з останньої тотожності нерівність
Повертаючись до даної функції , пов'язаної з і користуючись останньою нерівністю, отримаємо: , або, помічаючи, що виражається через , остаточно знаходимо: де залежить тільки від і .
Узагальнення і уточнення
Утвердженні теореми не вказано точного виду функції у правій стороні нерівності. Після доведення теореми було дано кілька різних варіантів обмежень, зокрема Ларс Альфорс довів таку нерівність
- .
Існують узагальнення теореми для функцій у колі довільного радіуса, що не є рівними деякій скінченній множині комплексний чисел (при цьому мають також виконуватися умови теореми Ландау).
Див. також
Література
- Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. — 12-е. — Москва : Наука, 1977.
- Hille E. (2002), Analytic function theory, т. Volume 2 (вид. 2ed., AMS), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0821833448
{{citation}}
: Cite має пустий невідомий параметр:|1=
(довідка) - Viola Carlo (2016). An Introduction to Special Functions. UNITEXT 102 (вид. 1). Springer International Publishing. ISBN 978-3-319-41344-0.
Wikiwand in your browser!
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.