Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
У математиці та статистиці розпо́діл імові́рностей (який має математично описуватися функцією розподілу ймовірностей), ставить у відповідність кожному інтервалу ймовірність таким чином, що аксіоми ймовірностей виконуються. Математичною мовою, функція розподілу ймовірностей є ймовірнісною мірою, визначеною на борелівській алгебрі інтервалів.
.svg)
Розподіл імовірностей є окремим випадком загальнішого означення ймовірнісної міри, яка є функцією, що ставить у відповідність вимірним множинам з вимірного простору ймовірності за аксіомами Колмогорова.
Згідно з означенням П. Лапласа, мірою ймовірності є дріб, чисельником якого є число сприятливих подій, а знаменником — число всіх можливих випадків.[1]
Також деякі вчені означають розподіл як ймовірнісну міру, індуковану випадковою величиною X на деякому інтервалі — ймовірність множини B є . Однак у цій статті розглядаємо лише ймовірнісні міри на множині інтервалів числової прямої.
Для найпростіших випадків, аби визначити розподіл ймовірностей, необхідно розрізняти дискретні і неперервні випадкові величини. В випадку із дискретною величиною, достатньо визначити функцію маси імовірності , яка задає значення імовірності кожному можливому результату: наприклад, при киданні шестигранної гральної кістки, кожне із шести можливих значень від 1 до 6 має однакову імовірність випасти, що дорівнює 1/6. Імовірність випадкової події тоді визначатиметься як сума ймовірностей тих результатів, які відповідають цій події; наприклад, імовірність події, що «при киданні гральної кістки випаде парне значення» дорівнюватиме
І навпаки, коли випадкова змінна приймає значення із неперервної області, тоді як правило окремий результат матиме нульову імовірність, і тільки події які містять нескінченно велику кількість значень, наприклад, інтервали, можуть мати додатне значення імовірності. Наприклад, імовірність того, що даний об'єкт має вагу, що точно дорівнює 500 г дорівнюватиме нулю, оскільки імовірність точно виміряти 500 г наближається до нуля, із тим як збільшуватиметься точність нашого інструменту вимірювання. Але тим не менш, контроль якості може вимагати, щоб імовірність «500 г» пакунку залишитися в межах ваги між 490 г та 510 г повинна становити не менше ніж 98 %, і ця вимога менш чутлива до точності інструментів вимірювання.
Неперервний розподіл імовірностей можна описати декількома шляхами. Функція густини імовірності описує нескінченно-малу ймовірність будь-якого даного значення, а імовірність того, що результат знаходитиметься в заданому інтервалі можна розрахувати за допомогою інтегрування функції густини імовірності по заданому інтервалу. З іншого боку, кумулятивна функція розподілу описує значення імовірності, що випадкова величина, не є більшою ніж дане значення; імовірність, що результат знаходиться у певному інтервалі можна розрахувати як різницю між значенням кумулятивної функції розподілу для кінцевих точок інтервалу. Кумулятивна функція розподілу є первісною для функції густини імовірності, за умови існування останньої.
Будь-яка випадкова величина задається своїм розподілом імовірностей. Якщо X є випадковою величиною, його розподіл ставить у відповідність відрізкам [a, b] ймовірність Pr[a ≤ X ≤ b], тобто ймовірність, що випадкова величина X прийме значення з інтервалу [a, b]. Розподіл ймовірностей величини X може бути однозначно описаний своєю функцією розподілу ймовірностей F(x), яка визначається, як
для усіх x з R.
Розподіл є дискретним, якщо його функція розподілу складається зі скінченної послідовності уступів, що фактично означає, що величина X є дискретною випадковою величиною: вона може набувати значення лише із визначеної скінченної (або зліченної) множини. Дехто визначає неперервний розподіл як такий, що його функція розподілу є неперервною функцією, що означає, що вона відповідає такій випадковій величині X для якої Pr[ X = x ] = 0 для усіх x в R. Інше визначення використовує термін неперервна функція розподілу лише для абсолютно неперервного розподілу. В термінах функції щільності, на множині дійсних чисел визначено невід'ємний інтеграл Лебега функції f, що задовольняє умові
для всіх a та b. Очевидно, для дискретних розподілів функція щільності не визначена; хоча треба відмітити, що для деяких неперервних розподілів, як драбина Кантора функція щільності також не визначена.
Дискретна функція розподілу виражається як —
для .
Де є ймовірністю елементарної події.
Теорія ймовірностей використовується у досить різноманітних застосуваннях, і термінологія відповідно не є однорідною і іноді плутана. Наведені терміни використовуються для некумулятивних функцій розподілу імовірностей:
Наступні терміни можуть вносити неоднозначність, оскільки можуть посилатися на некумулятивні і кумулятивні розподіли, в залежності від уподобань автора:
Розподіли імовірностей як правило поділяють на два класи. Дискретний розподіл імовірностей (що застосовується у випадках коли множина можливих подій є дискретною, як наприклад підкидання монети чи гральної кістки) можна описати дискретним набором ймовірностей можливих подій, що називається функцією маси імовірності. З іншого боку, неперервний розподіл імовірностей (що застосовується у випадках коли можливі події можуть приймати значення із неперервного діапазону (наприклад, дійсних чисел), як наприклад, температура в конкретний час дня) зазвичай описують за допомогою функції густини імовірностей (де імовірність виникнення кожного окремого результату фактично дорівнює 0). Самим загальнопоширеним неперервним розподілом імовірностей є нормальний розподіл. Більш складні експерименти, такі що пов'язані із випадковими процесами визначеними у неперервному часі[en], можуть потребувати використання більш загальних мір ймовірності.
Розподіл імовірностей, простором вибірки якого є множина дійсних чисел, називається одноваріативним[en], а розподіл простором вибірки якого є векторний простір називається спільним розподілом. Одноваріативний розподіл визначає імовірності однієї окремої випадкової величини яка приймає різні значення; багатоваріативний розподіл (спільний розподіл) визначає ймовірності вектора випадкової величини — списку двох або більшої кількості випадкових величин — враховуючи різні комбінації значень. До важливих і добревідомих одноваріативних розподілів імовірностей відносяться біноміальний розподіл, гіпергеометричний розподіл, і нормальний розподіл. Багатовимірний нормальний розподіл це найвідоміший спільний розподіл.
Деякі ймовірнісні розподіли є дуже важливим в теорії та практиці, тож їм дали свої назви:
 | Цей розділ містить неперекладені фрагменти англійською мовою. |
Для будь-якої множини незалежних випадкових величин функція щільності їх загального розподілу є добутком їх функцій щільності.
Клас розподілів називається класом розподілу типу зсув-масштабу, якщо
Сама функція називається базовою для цього класу розподілів.
Або, якщо говорити звичайною мовою, це набір розподілів, графіки яких однакові, просто зсунуті чи масштабовані вздовж осі .
Наприклад, всі Нормальні розподіли утворюють клас розподілів типу зсув-масштабу.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
![{\displaystyle F(x)=\Pr \left[X\leq x\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38abba897b79daf3a91bf12d0cd42f5aaf345a9)
![{\displaystyle \Pr \left[a\leq X\leq b\right]=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddb084adf4086a239bbaf753ad0566940150389)
![{\displaystyle F(x)=\Pr \left[X\leq x\right]=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i})}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa5fd3aee9c5275e9352893b908071261d67299)
