Параметризований постньютонівський формалізм

Параметризо́ваний постнью́тонівський формалі́зм (ППН формалі́зм) — версія постньютонівського формалізму, застосовна не тільки до загальної теорії відносності, але й до інших метричних теорій гравітації, коли рухи тіл задовольняють принцип еквівалентності Ейнштейна. У такому підході явно виписуються всі можливі залежності гравітаційного поля від розподілу матерії аж до відповідного порядку оберненого квадрата швидкості світла ${\displaystyle c^{-2}}$ (точніше, швидкості гравітації, при цьому зазвичай обмежуються першим порядком) і складається найзагальніший вираз для розв'язання рівнянь гравітаційного поля і руху матерії. Різні теорії гравітації при цьому пророкують різні значення коефіцієнтів — так званих ППН параметрів — у загальних виразах. Це приводить до потенційно спостережуваних ефектів, експериментальні обмеження на величину яких призводять до обмежень на ППН параметри, і відповідно — до обмежень на теорії гравітації, що їх передбачають. Можна сказати, що ППН параметри описують відмінності між ньютонівською та описуваною теоріями гравітації. ППН формалізм застосовний, коли гравітаційні поля слабкі, а швидкості руху тіл, що формують їх, малі, порівняно зі швидкістю світла (точніше, швидкістю гравітації) — канонічними прикладами застосування є рух Сонячної системи і систем пульсарів у подвійних системах^[1][2].

Історія

Перша параметризація постньютонівського наближення належить перу Еддінгтона (Eddington, 1922^[3]). У ній розглядалося, втім, лише гравітаційне поле у вакуумі навколо сферично-симетричного статичного тіла^[4]. Нордтведт^[en] (Nordtvedt, 1968^[5], 1969^[6]) розширив формалізм до 7 параметрів, а Вілл^[en] (Will, 1971^[7]) ввів у нього опис небесних тіл як протяжних розподілів тензора енергії-імпульсу^[4].

Застосовувані найчастіше і описані нижче версії формалізму ґрунтуються на працях Ні^[en] (Ni, 1972^[8]), Вілла і Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972^[9]), Мізнера, Торна і Вілера Гравітація^[10] та Вілла^[1][2], і мають 10 параметрів.

Бета-дельта варіант (Beta-delta notation)

Десять постньютонівських параметрів (ППН параметрів) повністю характеризують поведінку переважної більшості метричних теорій гравітації в границі слабкого поля^[11]. ППН формалізм виявився цінним засобом для перевірки загальної теорії відносності^[12]. В позначеннях Вілла (Will, 1971^[7]), Ні (Ni, 1972^[8]) і Мізнера, Торна і Вілера (Misner et al., 1973^[10]) ППН параметри мають умовно таке значення^[13]:

${\displaystyle \gamma }$	Наскільки сильну просторову кривину в ${\displaystyle g_{ij}}$ генерує одиниця маси спокою?
${\displaystyle \beta }$	Наскільки велика нелінійність у ${\displaystyle g_{00}}$ при додаванні гравітаційних полів?
${\displaystyle \beta _{1}}$	Скільки тяжіння в ${\displaystyle g_{00}}$ створює одиниця кінетичної енергії ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\rho _{0}v^{2}}$?
${\displaystyle \beta _{2}}$	Скільки тяжіння в ${\displaystyle g_{00}}$ створює одиниця гравітаційної потенціальної енергії ${\displaystyle \rho _{0}/U}$?
${\displaystyle \beta _{3}}$	Скільки тяжіння в ${\displaystyle g_{00}}$ створює одиниця внутрішньої енергії тіла ${\displaystyle \rho _{0}\Pi }$?
${\displaystyle \beta _{4}}$	Скільки тяжіння в ${\displaystyle g_{00}}$ створює одиниця тиску ${\displaystyle p}$?
${\displaystyle \zeta }$	Різниця між проявом радіальної та трансверсальної кінетичної енергії в тяжінні в ${\displaystyle g_{00}}$
${\displaystyle \eta }$	Різниця між проявом радіальних і трансверсальних напруг у тяжінні в ${\displaystyle g_{00}}$
${\displaystyle \Delta _{1}}$	Скільки захоплення інерційних систем відліку в ${\displaystyle g_{0j}}$ створює одиниця імпульсу ${\displaystyle \rho _{0}v}$?
${\displaystyle \Delta _{2}}$	Різниця між степенем захоплення інерційних систем відліку в радіальному і трансверсальному напрямках

${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ — симетричний метричний тензор 4 на 4, а просторові індекси ${\displaystyle i}$ і ${\displaystyle j}$ пробігають значення від 1 до 3.

У теорії Ейнштейна ці параметри відповідають тому, що (1) для малих швидкостей руху тіл та їхніх мас відновлюється ньютонівське тяжіння, (2) виконуються закони збереження енергії, маси, імпульсу та моменту імпульсу, і (3) рівняння теорії не залежать від системи відліку. У таких позначеннях загальна теорія відносності має ППН параметри

${\displaystyle \gamma =\beta =\beta _{1}=\beta _{2}=\beta _{3}=\beta _{4}=\Delta _{1}=\Delta _{2}=1}$ і ${\displaystyle \zeta =\eta =0}$ ^[13].

Альфа-дзета варіант (Alpha-zeta notation)

У сучаснішій версії (Will & Nordtvedt, 1972^[9]), що використовується також у роботах Вілла (1981^[2], 2014^[1]), застосовується інший еквівалентний набір із 10 ППН параметрів:

${\displaystyle \gamma =\gamma }$,

${\displaystyle \beta =\beta }$,

${\displaystyle \alpha _{1}=7\Delta _{1}+\Delta _{2}-4\gamma -4}$,

${\displaystyle \alpha _{2}=\Delta _{2}+\zeta -1}$,

${\displaystyle \alpha _{3}=4\beta _{1}-2\gamma -2-\zeta }$,

${\displaystyle \zeta _{1}=\zeta }$,

${\displaystyle \zeta _{2}=2\beta +2\beta _{2}-3\gamma -1}$,

${\displaystyle \zeta _{3}=\beta _{3}-1}$,

${\displaystyle \zeta _{4}=\beta _{4}-\gamma }$,

${\displaystyle \xi }$ виходить з ${\displaystyle 3\eta =12\beta -3\gamma -9+10\xi -3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-2\zeta _{1}-\zeta _{2}}$.

Сенс параметрів ${\displaystyle \alpha _{1}}$, ${\displaystyle \alpha _{2}}$ і ${\displaystyle \alpha _{3}}$ при цьому — ступінь прояву ефектів переважної системи відліку (ефіру)^[14]. ${\displaystyle \zeta _{1}}$, ${\displaystyle \zeta _{2}}$, ${\displaystyle \zeta _{3}}$, ${\displaystyle \zeta _{4}}$ і ${\displaystyle \alpha _{3}}$ вимірюють ступінь порушення законів збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу^[15].

У цих позначеннях ППН параметри ЗТВ є

${\displaystyle \gamma =\beta =1}$ і ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha _{2}=\alpha _{3}=\zeta _{1}=\zeta _{2}=\zeta _{3}=\zeta _{4}=\xi =0}$ ^[16].

Вигляд метрики альфа-дзета варіанту:

${\displaystyle {\begin{matrix}g_{00}=-1+2U-2\beta U^{2}-2\xi \Phi _{W}+(2\gamma +2+\alpha _{3}+\zeta _{1}-2\xi )\Phi _{1}+2(3\gamma -2\beta +1+\zeta _{2}+\xi )\Phi _{2}\\\ +2(1+\zeta _{3})\Phi _{3}+2(3\gamma +3\zeta _{4}-2\xi )\Phi _{4}-(\zeta _{1}-2\xi )A-(\alpha _{1}-\alpha _{2}-\alpha _{3})w^{2}U\\\ -\alpha _{2}w^{i}w^{j}U_{ij}+(2\alpha _{3}-\alpha _{1})w^{i}V_{i}+O(\varepsilon ^{3})\end{matrix}}}$

${\displaystyle g_{0i}=-\textstyle {\frac {1}{2}}(4\gamma +3+\alpha _{1}-\alpha _{2}+\zeta _{1}-2\eta )V_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(1+\alpha _{2}-\zeta _{1}+2\xi )W_{i}-\textstyle {\frac {1}{2}}(\alpha _{1}-2\alpha _{2})w^{i}U-\alpha _{2}w^{j}U_{ij}+O(\varepsilon ^{\frac {5}{2}})\;,}$

${\displaystyle g_{ij}=(1+2\gamma U)\delta _{ij}+O(\varepsilon ^{2})\;}$,

де за індексами, що повторюються, передбачається підсумовування, ${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$ визначається як найбільше в системі значення ньютонівського потенціалу ${\displaystyle U}$, квадрата швидкості матерії або подібних величин (вони всі мають один порядок величини), ${\displaystyle w^{i}}$ — швидкість ППН координатної системи відносно виділеної системи спокою, ${\displaystyle w^{2}=w^{i}w^{j}\delta _{ij}}$ — квадрат цієї швидкості, а ${\displaystyle \delta _{ij}=1}$ якщо ${\displaystyle i=j}$ і ${\displaystyle 0}$ у протилежному випадку — символ Кронекера^[17].

Є лише десять простих метричних потенціалів: ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle U_{ij}}$, ${\displaystyle \Phi _{W}}$, ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle \Phi _{1}}$, ${\displaystyle \Phi _{2}}$, ${\displaystyle \Phi _{3}}$, ${\displaystyle \Phi _{4}}$, ${\displaystyle V_{i}}$ і ${\displaystyle W_{i}}$^[18], стільки ж, як і ППН параметрів, що гарантує єдиність ППН розв'язку для кожної теорії гравітації^[17]. Форма цих потенціалів нагадує гравітаційний потенціал ньютонівської теорії — вони дорівнюють визначеним інтегралам за розподілом матерії, наприклад^[18],

${\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)=\int {\rho _{0} \over |\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}d^{3}x'.}$

Повний список визначень метричних потенціалів див. у роботах Мізнера, Торна, Вілера (Misner et al., 1973^[19]), Вілла (1981^[18], 2014^[20]) та ін.

Процедура отримання ППН параметрів з теорії гравітації

Приклади аналізу можна знайти у книзі Вілла, 1981^[2]. Процес складається з дев'яти стадій^[21]:

• Крок 1: Визначення змінних: (a) динамічні гравітаційні змінні, такі як метрика ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$, гравітаційне скалярне ${\displaystyle \phi }$, векторне ${\displaystyle K_{\mu }}$ та/або тензорне поле ${\displaystyle B_{\mu \nu }}$ тощо; (b) змінні переважної геометрії, такі як плоска фонова метрика ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$, космологічний час ${\displaystyle t}$ тощо; (c) змінні матеріальних (негравітаційних) полів.

• Крок 2: Встановлення космологічних граничних умов: припускаючи всесвіт Фрідмана (однорідний та ізотропний), вводимо ізотропні координати в системі спокою Всесвіту (повне космологічне рішення для цього потрібно не завжди). Отримані фонові космологічні поля називаємо ${\displaystyle g_{\mu \nu }^{(0)}={\mbox{diag}}(-c_{0},c_{1},c_{1},c_{1})}$, ${\displaystyle \phi _{0}}$, ${\displaystyle K_{\mu }^{(0)}}$, ${\displaystyle B_{\mu \nu }^{(0)}}$.

• Крок 3: Вводимо нові змінні ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-g_{\mu \nu }^{(0)}}$, а якщо необхідно, то й ${\displaystyle \phi -\phi _{0}}$, ${\displaystyle K_{\mu }-K_{\mu }^{(0)}}$, ${\displaystyle B_{\mu \nu }-B_{\mu \nu }^{(0)}}$.

• Крок 4: Підставляємо отримані вирази та тензор енергії-імпульсу матерії (зазвичай ідеальної рідини) у рівняння гравітаційного поля та відкидаємо члени надто високого порядку для ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ та інших динамічних гравітаційних змінних.

• Крок 5: Розв'язуємо рівняння для ${\displaystyle h_{00}}$ із точністю до ${\displaystyle O(2)}$. Припускаючи, що ця величина далеко від системи прямує до нуля, отримуємо форму ${\displaystyle h_{00}=2\alpha U}$, де ${\displaystyle U}$ — гравітаційний потенціал Ньютона, а ${\displaystyle \alpha }$ може бути складною функцією, що включає гравітаційну «сталу» ${\displaystyle G}$. Ньютонова метрика має форму ${\displaystyle g_{00}=-c_{0}+2\alpha U}$, ${\displaystyle g_{0j}=0}$, ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}c_{1}}$. Переходимо до одиниць, у яких гравітаційна «стала», виміряна зараз далеко від гравітувальної матерії, дорівнює одиниці ${\displaystyle G_{\mbox{today}}=\alpha /c_{0}c_{1}=1}$.

• Крок 6: З лінеаризованої версії польових рівнянь отримуємо ${\displaystyle h_{ij}}$ із точністю до ${\displaystyle O(2)}$ і ${\displaystyle h_{0j}}$ із точністю до ${\displaystyle O(3)}$.

• Крок 7: Знаходимо ${\displaystyle h_{00}}$ із точністю до ${\displaystyle O(4)}$. Це найскладніший етап, оскільки рівняння тут стають нелінійними. Тензор енергії-імпульсу також необхідно розкласти до потрібного порядку.

• Крок 8: Переходимо до стандартного ППН калібрування.

• Крок 9: Порівнюючи отриману метрику ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ з відомим ППН виразом, визначаємо ППН параметри теорії.

Порівняння теорій гравітації

Таблицю, що представляє ППН параметри 23 теорій гравітації, наведено в статті «Альтернативні теорії гравітації».

Більшість метричних теорій можна поділити за кількома категоріями. Скалярні теорії гравітації^[en] включають конформно-плоскі теорії та стратифіковані теорії з просторовими перерізами, строго ортогональними часовому напрямку.

У конформно-плоских теоріях, наприклад, теорія Нордстрема^[en], метрика дорівнює ${\displaystyle \mathbf {g} =f{\boldsymbol {\eta }}}$ і тому ${\displaystyle \gamma =-1}$ що абсолютно несумісне зі спостереженнями. У стратифікованих теоріях, наприклад, теорії Їлмаза^[en], метрика дорівнює ${\displaystyle \mathbf {g} =f_{1}\mathbf {d} t\otimes \mathbf {d} t+f_{2}{\boldsymbol {\eta }}}$ і, отже, ${\displaystyle \alpha _{1}=-4(\gamma +1)}$, що знову-таки суперечить спостереженням.

Інший клас теорій — квазілінійні теорії типу теорії Вайтгеда. Для них ${\displaystyle \xi =\beta }$. Оскільки відносні амплітуди гармонік земних припливів залежать від ${\displaystyle \xi }$ і ${\displaystyle \alpha _{2}}$, то їх виміри дозволяють відхилити всі подібні теорії, виключаючи таке велике значення ${\displaystyle \xi }$.

Ще один клас теорій — біметричні теорії. Для них ${\displaystyle \alpha _{2}}$ не дорівнює 0. З даних щодо прецесії осі обертання мілісекундних пульсарів ми знаємо, що ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}}$, і це ефективно відхиляє біметричні теорії.

Далі йдуть скалярно-тензорні теорії, наприклад, теорія Бранса — Діке. Для таких теорій у першому наближенні ${\displaystyle \gamma =\textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$. Межа ${\displaystyle \gamma -1<2.3\times 10^{-5}}$ дає дуже мале ${\displaystyle 1/\omega }$, що характеризує ступінь «скалярності» гравітаційної взаємодії, а в міру уточнення експериментальних даних межа на ${\displaystyle \omega }$ все продовжує збільшуватися, отже такі теорії стають менш імовірними.

Останній клас теорій — векторно-тензорні теорії. Для них гравітаційна «стала» змінюється з часом і ${\displaystyle \alpha _{2}}$ не дорівнює 0. Лазерна локація Місяця сильно обмежує варіацію гравітаційної «сталої» та ${\displaystyle |\alpha _{2}|<2\cdot 10^{-9}}$ так що ці теорії також не виглядають надійними.

Деякі метричні теорії не потрапляють до виділених категорій, але мають подібні проблеми.

Експериментальні обмеження на ППН параметри

Значення взято з огляду Вілла, 2014^[22].

Параметр	Межі	Ефекти	Експеримент
${\displaystyle \gamma -1}$	${\displaystyle 2.3\cdot 10^{-5}}$	Ефект Шапіро, гравітаційне відхилення світла	Траєкторія «Кассіні — Гюйгенса»
${\displaystyle \beta -1}$	${\displaystyle 8\cdot 10^{-5}}$	Ефект Нордтведта, зсув перигелію	Лазерна локація Місяця, рухи планет у Сонячній системі
${\displaystyle \xi }$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-9}}$	Прецесія осі обертання	Мілісекундні пульсари
${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-5}}$	Зсув площини орбіти	Лазерна локація Місяця, пульсар J1738+0333
${\displaystyle \alpha _{2}}$	${\displaystyle 2\cdot 10^{-9}}$	Прецесія осі обертання	Мілісекундні пульсари
${\displaystyle \alpha _{3}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-20}}$	Самоприскорення	Статистика сповільнення пульсарів
${\displaystyle \zeta _{1}}$	${\displaystyle 0.02}$	-	Комбінована межа різних експериментів
${\displaystyle \zeta _{2}}$	${\displaystyle 4\cdot 10^{-5}}$	Прискорення подвійних пульсарів	PSR 1913+16
${\displaystyle \zeta _{3}}$	${\displaystyle 10^{-8}}$	Третій закон Ньютона	Прискорення Місяця
${\displaystyle \zeta _{4}}$	${\displaystyle 0.006}$‡	-	Не є незалежним

‡ За ${\displaystyle 6\zeta _{4}=3\alpha _{3}+2\zeta _{1}-3\zeta _{3}}$ з робіт Вілла (1976^[23], 2014^[1]). Теоретично в деяких теоріях гравітації можливий обхід цього обмеження, тоді застосовною є слабша межа ${\displaystyle |\zeta _{4}|<0.4}$ зі статті Ні (1972^[8]).

Примітки

1. Will, 2014.
2. Уилл, 1985.
3. Эддингтон, 1934.
4. МТУ, 1977, Том 3, с. 315.
5. Nordtvedt, 1968.
6. Nordtvedt, 1969.
7. Will, 1971.
8. Ni, 1972.
9. Will & Nordtvedt, 1972.
10. МТУ, 1977.
11. МТУ, 1977, Том 3, с. 313.
12. МТУ, 1977, Том 3, с. 314.
13. МТУ, 1977, Том 3, с. 317—318.
14. Уилл, 1985, с. 90—91.
15. Уилл, 1985, с. 99—100.
16. Уилл, 1985, 5.2. Общая теория относительности.
17. Уилл, 1985, с. 87.
18. Уилл, 1985, 4.1. Постньютоновсий предел. г. Постньютоновские потенциалы..
19. МТУ, 1977, Том 3. § 39.8. ППН-метрические коэффициенты.
20. Will, 2014, с. 32—33, Box 2.
21. Уилл, 1985, 5.1. Метод расчёта..
22. Will, 2014, с. 46.
23. Will, 1976.

Література

Основна

• Will, C. M. Theory and Experiment in Gravitational Physics. — Cambridge University Press, 1981, 1993. — ISBN 0-521-43973-6.
• Will C. M.. The Confrontation between General Relativity and Experiment // Living Reviews in Relativity. — 2014. — Vol. 17, no. 4. — arXiv:1403.7377. — Bibcode:2014LRR….17….4W. — DOI:10.12942/lrr-2014-4. Архівовано з джерела 19 березня 2015.

Додаткова

• Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. Gravitation. — W. H. Freeman and Co, 1973.
• Eddington, A. S. The Mathematical Theory of Relativity. — Cambridge University Press, 1922.
• Ni W.-T.. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity.IV. a Compendium of Metric Theories of Gravity and Their POST Newtonian Limits // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 176. — P. 769. — Bibcode:1972ApJ…176..769N. — DOI:10.1086/151677.
• Nordtvedt K.. Equivalence Principle for Massive Bodies. II. Theory // Physical Review. — 1968. — Vol. 169. — P. 1017—1025. — Bibcode:1968PhRv..169.1017N. — DOI:10.1103/PhysRev.169.1017.
• Nordtvedt K.. Equivalence Principle for Massive Bodies Including Rotational Energy and Radiation Pressure // Physical Review. — 1969. — Vol. 180. — P. 1293—1298. — Bibcode:1969PhRv..180.1293N. — DOI:10.1103/PhysRev.180.1293.
• Will C. M.. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity. II. Parametrized Post-Newtonian Hydrodynamics, and the Nordtvedt Effect // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1971. — Vol. 163. — P. 611. — Bibcode:1971ApJ…163..611W. — DOI:10.1086/150804.
• Will C. M.. Active mass in relativistic gravity — Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1976. — Vol. 204. — P. 224—234. — Bibcode:1976ApJ…204..224W. — DOI:10.1086/154164.
• Will C. M., Nordtvedt Jr., K.. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism // The Astrophysical Journal. — IOP Publishing, 1972. — Vol. 177. — P. 757. — Bibcode:1972ApJ…177..757W. — DOI:10.1086/151754.