Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
У математиці однорідний поліном (який іноді називають “quantic“ у старих текстах) — це поліном, в якого усі ненульові члени мають однаковий степінь.[1] Наприклад, — однорідний поліном -го степеня з двома змінними; сума показників у кожному доданку завжди дорівнює . Поліном не є однорідним, оскільки сума показників не збігається від члена до члена. Функція, визначена однорідним поліномом, завжди є однорідною функцією.
Алгебраїчна форма або просто форма — це функція, визначена однорідним поліномом.[2] Бінарна форма — це форма з двома змінними. Форма — це також функція, визначена у векторному просторі, яку можна представити як однорідну функцію координат для довільного базису.
Поліном степеня завжди однорідний; це просто елемент поля або кільця коефіцієнтів, зазвичай його називають константою або скаляром. Форма степеня є лінійною формою.[3] Форма степеня є квадратичною формою. У геометрії евклідова відстань — це квадратний корінь з квадратичної форми.
Однорідні поліноми є широко поширеними в математиці та фізиці.[4] Вони відіграють фундаментальну роль в алгебричній геометрії, оскільки проєктивний алгебраїчний многовид[en] визначається як множина спільних нулів множини однорідних поліномів.
Однорідний поліном визначає однорідну функцію.Це означає, що якщо багатовимірний поліном є однорідним степеня , то
виконується для будь-якого і для будь-якого поля, що містить коефіцієнти полінома . І навпаки, якщо вищезгадане співвідношення справедливе для нескінченної кількості , то поліном є однорідним степеня . Зокрема, якщо поліном однорідний, то
для будь-якого . Ця властивість є фундаментальною при визначенні проєктивного многовиду[en].
Будь-який ненульовий поліном можна єдиним чином розкласти як суму однорідних поліномів з різними степенями, які називаються однорідними компонентами полінома.
Для заданого кільця поліномів над полем (або, у загальному випадку, кільцем) однорідні поліноми степеня утворюють векторний простір (або модуль), який зазвичай позначається як . Наведене вище однозначне розкладання означає, що є прямою сумою модулів (сума за всіма невід'ємними цілими числами).
Розмірність векторного простору (або вільного модуля) — це кількість різних одночленів степеня з змінними (тобто максимальна кількість ненульових членів в однорідному поліномі степеня від змінних). Вона дорівнює біноміальному коефіцієнту
Однорідний поліном задовольняє тотожність Ейлера для однорідних функцій. Тобто, якщо є однорідним поліномом степеня від невідомих , то маємо (залежно від того, що є комутативним кільцем коефіцієнтів)
де означає формальну частинну похідну від відносно .
Неоднорідний поліном можна гомогенізувати, ввівши додаткову змінну і визначивши однорідний поліном, який іноді позначають як :[5]
де степінь полінома . Наприклад, якщо
то
Гомогенізований поліном можна дегомогенізувати, ввівши додаткову змінну . Тобто
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.